Сначала рассмотрим область пространства вне шара: R ≤ r ≤ ∞, где r − расстояние от центра шара до выбранной точки пространства.
В этой области заряженный шар создает точно такое же электрическое поле, как и точечный заряд, помещенный в центр шара. Поэтому напряженность поля на расстоянии r от шара равна
Приращение потенциала для данного случая можно записать так:
где dr − малое изменение расстояния r. Просуммируем обе части данного уравнения:
После интегрирования получим
Для определения константы С1 используем граничное условие: при r → ∞ φ → 0. Отсюда следует, что С1 = 0, следовательно, распределение потенциала в области R ≤ r ≤ ∞ имеет вид
Теперь рассмотрим область пространства внутри шара: 0 ≤ r ≤ R. В этом случае напряженность электрического поля определяется только зарядом внутри шара радиусом r и равна
Тогда
Для определения константы С2 воспользуемся граничным условием: при
это значение потенциала находится из полученного выше распределения. Отсюда получим, что
Окончательное выражение для распределения потенциала в области 0 ≤ r ≤ R имеет вид
График зависимости φ(r) при 0 ≤ r ≤ ∞ изображен на рисунке.
