Прямолинейное движение точки описывается уравнением r =3t^2i +4t^2j +8tk Найти путь, пройденный точкой за первые 4с движения.

Уравнение движения точки дано в виде r = 3t^2i + 4t^2j + 8tk, где i, j, k - единичные векторы по соответствующим осям x, y и z, а t - время.

Чтобы найти путь, пройденный точкой за первые 4с движения, необходимо найти выражение для пути r(t) и подставить в него верхнюю границу времени t = 4.

Выразим путь как интеграл скорости по времени:
r(t) = ∫(v(t) dt)
где v(t) - вектор скорости точки.

Дифференцируем уравнение движения по времени для получения вектора скорости:
v(t) = dr(t)/dt = (d(3t^2i)/dt) + (d(4t^2j)/dt) + (d(8tk)/dt)
вводя в конечное выражение известный факт, что производная по времени от координаты, являющейся функцией времени, равна производной этой координаты по времени:
v(t) = (6ti + 8tj + 8k)

Теперь найдем путь, проходимый точкой за первые 4с движения:
r(4) = ∫(v(t) dt)|_0^4
= ∫[(6ti + 8tj + 8k) dt]|_0^4
= ∫(6ti + 8tj + 8k) dt from 0 to 4

Вычисляя этот интеграл, получим:
r(4) = [(3t^2)i + (4t^2)j + (8tk)] from 0 to 4
= [(3(4)^2)i + (4(4)^2)j + (8(4)k)] - [(3(0)^2)i + (4(0)^2)j + (8(0)k)]
= [48i + 64j + 32k] - [0i + 0j + 0k]
= 48i + 64j + 32k

Таким образом, путь, пройденный точкой за первые 4с движения, равен 48i + 64j + 32k.