Пустую бутылку при атмосферном давлении 750 мм.рт.ст. закрыли пробкой диаметром 4 см. чтобы определить силу, необходимую для того чтобы эту пробку вытащить, бутылку поместили под колокол, из которого стали откачивать воздух. Когда давление под колоколом стало 160 мм.рт.ст., пробка была вытолкнута из бутылки. Какая сила понадобилась для этого?

Хорошо понятое условие, на половину решённая задача.
Читаем внимательно условие... Отношение моментов инерции ... 
относительной оси:
в 1-ом случае эта ось совпадает со стороной квадрата
во 2-ом случае с диагональю. 
Делаем рисунок (см. вложение).

Вспоминаем что такое момент инерции.
Момент инерции это - скалярная физ. величина равная произведению массы (m) на квадрат расстояния до оси.
         J = m · R
Момент инерции тела = сумме моментов инерции материальных точек из которых состоит тело.
Запишем математически:
         J = ∑ m · R²
Для первого случая и всех точек: 
J₁ = 0 + m · R₂² + m · R₃² + 0 = 2·m·R² при L = R ⇒ J = 2·m·L²
почему для 1-и 4-ой точки 0? вспоминаем: квадрат расстояния до оси, он там равен 0.

Для второго случая:
J₂ = 0 + m · R₂² + 0 + m · R₄²= 2·m·R²
см. рисунок, там L ≠ R
Тут  L = R·√2  - из курса геометрии откуда R = L/√2 
Подставим: J₂ = 2·m·(L/√2)² = m·L²

Находим искомое соотношение моментов инерций двух случаев:
 J₁     2·m·L²
── = ──── = 2 - ответ.
 J₂      m·L²
    

Обозначим скорость поезда в начальный момент, как    

скорость, когда только один вагон проехал мимо наблюдателя:    

когда только 5 последних вагонов не проехали наблюдателя:    

и скорость , когда весь состав проехал мимо наблюдателя:    

В соответствии с условием: интервалы времени от состояния        до        и от состояния        до        – одинаковы, а значит и изменение скорости одинаковое, поскольку движение равноускоренное:

     [1]

С другой стороны, от состояния        до        – поезд проезжает расстояние впятеро большее, чем от состояния        до        – а значит, средняя скорость    впятеро больше средней скорости    





Сложим с [1] :

     [2]

Поскольку разность краевых скоростей при одном и том же ускорении пропорциональна пройденному пути, то:


так как вся длина поезда составляет        вагонов + локомотив.

Подставляем [2] и получаем:

















Из [2]:



Итак:    

В частности, если        то    

а если        то