Дано: Rз = 6,371·10⁶м - радиус Земли
g₀ = 9.81 м/с² - ускорение свободного падения на поверхности Земли
Тз = 24ч = 24·3600 = 8,64·10⁴ с - период обращения Земли вокруг своей оси
Найти: Н - высоту спутника над поверхностью Земли, при которой он "привязан" к одной точке Земли.
1) Ускорение свободного падения на высоте Н можно вычислить по ускорению свободного падения на поверхности Земли:
g = g₀·Rз²/(Rз +Н)²
2) Скорость спутника на высоте Н над поверхностью Земли c одной стороны равна
v = √(g·(R+H))= √(g₀·Rз²·(R+H)/(Rз +Н)²)) = Rз√(g₀/(Rз +Н))
а с другой стороны, чтобы спутник "завис", она должна быть равна скорости движения точки на этой орбите, жёстко связанной с Землёй, т.е.
v = 2π/T ·(Rз +Н)
Приравняем скорости:
2π/T ·(Rз +Н) = Rз√(g₀/(Rз +Н))
4π²·(Rз +Н)²/Т² = Rз²·g₀/(Rз +Н)
(Rз +Н)³ = Rз²·Т²·g₀/(4π²)
Rз +Н = ∛(Rз²·Т²·g₀/(4π²)) =
= ∛(6,371²·8,64²·10⁸·10¹²·9,81/(4π²)) =
=4,2226·10⁷м = 42226км
Н = 42226 * 6371 = 35855км
или Н/Rз = 35855/6371 ≈ 5.6
ответ: Cпутник должен находиться на высоте Н =35855км над поверхностью Земли, что составляет примерно 5,6Rз
Дано: Rз = 6,371·10⁶м - радиус Земли
Н = 6·10⁵м - высота спутника над поверхностью Земли
G = 6,6742·10−11 м³с−2кг−1 - гравитационная постоянная
Мз = 5,9736·10²⁴ кг - масса Земли
Найти: 1) v - cкорость спутника
2) Т - период обращения спутника вокруг Земли
1) Найдём ускорение свободного падения на высоте Н:
g = Мз·G/(Rз +Н)² =
= 5,9736·10²⁴ · 6,6742·10−11 /(6,371·10⁶ + 6·10⁵ ) =
= 5,9736·6,6742·10¹³/(6,971·10⁶)² =
= (5,9736·6,6742/48,594841)·10 = 5,719·10⁷ =
= 8,204(м/с²)
2) Найдём скорость спутника из формулы а = g = v²/(Rз +Н)
v = √(g·(Rз +Н)) =
= √(8.204·6,971·10⁶) =
= √(57,190084·10⁶) =
= 7,562·10³(м/c) =
= 7562 км/с
3) Найдём период обращения спутника вокруг Земли:
Т = 2π(R + H)/v =
= 2·π·6,971·10⁶/7,562·10³ =
= (6.283·6,971/7,562)·10³ =
= 5792 (c) =
= 96,535 мин =
≈ 1,6 часа =
≈ 1час 36мин
ответ: v = 7562 км/с, T ≈ 1час 36мин
