Дано:
m = 1,3 кг
L = 4 м
L₁ = 5 м
L₂ = 3 м
g = 10 м/с²
T₁, T₂ - ?
При данных значениях длин стержень и нити будут образовывать прямоугольный треугольник, т.к. точка подвеса располагается точно на линии действия силы тяжести (см. рисунок).
Стержень находится в равновесии. Воспользуемся одним из условий равновесия - равенством моментов сил, действующих на стержень. На стержень действуют три силы: сила тяжести mg, сила натяжения длинной нити T₁ и сила натяжения короткой нити T₂. Момент силы - это произведение силы F и плеча d, где плечо d - это кратчайшее расстояние между точкой опоры и линией действия силы:
M = F*d
Для того, чтобы найти какую-либо из сил натяжения, мы будем рассматривать равенство моментов сил относительно точек А и B.
ТОЧКА А.
M + M₁ + M₂ = 0 - векторная сумма
-M + 0 + M₂ = 0 - алгебраическая сумма, где
-M = -mg*d - знак минуса стоит потому, что сила тяжести стремится повернуть стержень по часовой стрелке относительно точки А.
M₁ = T₁*d₁(A) = 0, т.к. сила T₁ не стремится повернуть стержень относительно точки, к которой она и приложена. Другими словами - плечо силы T₁ относительно точки А равно нулю (d₁(A) = 0), поэтому момент этой силы равен нулю.
M₂ = T₂*d₂ = T₂*L - знак плюса стоит потому, что сила натяжения T₂ стремится повернуть стержень против часовой стрелки относительно точки А.
Выходит, что:
M₂ = M
T₂*L = mg*d
Мы не знаем плечо d. Но его можно выразить путём геометрических соображений. Обратимся к рисунку. Плечо d равно стороне АС прямоугольного треугольника ABC. Этот треугольник подобен прямоугольному треугольнику A'B'C' по трём углам (углы B и B' являются вертикальными, а углы А и А' - взаимно перпендикулярными, углы С и С' - прямые). Если поделим АB на AC, то получим коэффициент подобия, который точно также можно получить, поделив А'B' на A'C':
AB/AC = А'B'/A'C'
АB = L/2, AC = d
A'C' = L₂, A'B' = √(A'C'² + B'C'²) - по теореме Пифагора, B'C' = AB = L/2 =>
=> A'B' = √(L₂² + (L/2)²) = √(L₂² + L²/4), тогда:
(L/2) / d = √(L₂² + L²/4) / L₂ - выражаем d:
d = (L/2) : (√(L₂² + L²/4) / L₂) = (L/2)*L₂/√(L₂² + L²/4) = L*L₂ / 2√(L₂² + L²/4)
Подставляем в уравнение моментов:
T₂*L = mg*d
T₂*L = mg*L*L₂ / 2√(L₂² + L²/4) - делим обе части на L:
T₂ = mg*L₂ / 2√(L₂² + L²/4) = 1,3*10*3 / 2√(3² + 4²/4) = 39 / 2√13 = 13*3 / 2√13 = √13*3/2 = √13*1,5 = 5,4083... = 5,4 Н
ТОЧКА B.
M + M₁ + M₂ = 0 - векторная сумма
M - M₁ + 0 = 0 - алгебраическая сумма, где
M = mg*d
-M₁ = -T₁*d₁, получается:
M = M₁
mg*d = T₁*d₁
Плечо d мы уже выразили. Остаётся выразить плечо d₁. Мы можем выразить d₁, используя два прямоугольных треугольника: АDC' и A'DC'. Выразим плечо из теоремы Пифагора, обозначив сторону A'D через x:
АDC': d₁² = L² - (L₁ - x)²
A'DC': d₁² = L₂² - x²
Приравняем, чтобы выразить х:
L² - (L₁ - x)² = L₂² - x²
L² - (L₁² - 2*L₁*x + x²) = L₂² - x²
L² - L₁² + 2*L₁*x - x² = L₂² - x²
L² - L₁² + 2*L₁*x = L₂²
2*L₁*x = L₂² - L² + L₁²
x = (L₂² - L² + L₁²) / 2L₁ = (3² - 4² + 5²) / (2*5) = (9 - 16 + 25)/10 = 18/10 = 1,8 м
Тогда:
d₁² = L₂² - x² => d₁ = √(L₂² - x²)
Выражаем T₁ из уравнения моментов:
mg*d = T₁*d₁
T₁ = mg*d/d₁ = [mg*L*L₂ / 2√(L₂² + L²/4)] / √(L₂² - x²) = [1,3*10*4*3 / 2√(3² + 4²/4)] / √(3² - 1,8²) = 9,0138... = 9,0 H
ответ: 5,4 Н и 9,0 Н.
