Среднюю скорость катера можно сосчитать по формуле:
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{t_1} + {t_2}}}\]
Движение на обоих участках было равномерным, поэтому найти время \(t_1\) и \(t_2\) не составит труда.
\[\left\{ \begin{gathered}
{t_1} = \frac{{{S_1}}}{{{\upsilon _1}}} \hfill \\
{t_2} = \frac{{{S_2}}}{{{\upsilon _2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Так как участки равны по величине \(S_1=S_2=\frac{1}{2}S\), и скорость на первой участке больше скорости на втором в два раза \(\upsilon_1=2\upsilon_2\), то:
\[\left\{ \begin{gathered}
{t_1} = \frac{S}{{2{\upsilon _1}}} = \frac{S}{{4{\upsilon _2}}} \hfill \\
{t_2} = \frac{S}{{2{\upsilon _2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Подставим выражения для времен \(t_1\) и \(t_2\) в формулу средней скорости.
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{S}{{\frac{S}{{4{\upsilon _2}}} + \frac{S}{{2{\upsilon _2 = \frac{S}{{\frac{{3S}}{{4{\upsilon _2 = \frac{{S \cdot 4{\upsilon _2}}}{{3S}} = \frac{{4{\upsilon _2}}}{3}\]
Значит необходимая нам скорость \(\upsilon_2\) определяется по такой формуле.
функция зависимости координаты тела от времени имеет вид:
x(t) = A sin(ωt + φ0),
где А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, равная ω = 2π/T, φ0 - начальная фаза колебаний
нам известно, что в момент времени t = 0 тело находилось в координате x0:
x0 = A sin(φ0)
sin(φ0) = x0/A = 1/2
φ0 = π/6 + 2πk
φ0 = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z
при t = 0 тело движется в положительном направлении, поэтому φ0 = π/6. далее нам известно, что через какое-то время t' тело вернется в начальную координату x0:
x0 = A sin(ωt' + π/6)
sin(ωt' + π/6) = 1/2
ωt' + π/6 = π/6 + 2πn
ωt' + π/6 = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z
так как по условию время t' должно быть минимальным, то мы полагаем n = 0. первый случай (t' = 0) справедлив, но нам не подходит. а вот второй верен:
[2π/T] t'(min) = (2/3) π
t'(min) = T/3 = 0.6 c
