Масса металлического шарика, закрепленного на конце горизонтально расположенной пружины, равна 0,03 кг. коэффициент жесткости пружины равен 0,27 н/м, логарифмический декремент
затухания 4,308. определить резонансную частоту вынужденных
гармонических колебаний.

Задача очень простая, на умение записывать уравнения движения тел в соответствующих осях. Рисунок для решения мы приводим справа, для его увеличения нажмите на него.

Запишем уравнения движения тела по оси y:

y=v0sinα⋅t—gt22
Заменяя в уравнении y на данное h, получим квадратное уравнения, которое необходимо решить для нахождения времени полета. Неудивительно, что уравнение имеет 2 корня, поскольку на данной высоте тело за все время полета будет находиться 2 раза, что видно из рисунка.

h=v0sinα⋅t—gt22
gt2—2v0sinα⋅t+2h=0
Найдем дискриминант:

D=4v20sin2α—8gh
Проверять положительность дискриминанта не будем, поскольку решение задачи быть должно, значит он априори неотрицателен.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

t=2v0sinα±4v20sin2α—8gh−−−−−−−−−−−−√2g
Мы получили ответ в общем виде. Теперь подставим все известные величины в СИ:

t=2⋅10⋅sin30∘±4⋅102⋅sin230∘—8⋅10⋅1,05−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2⋅10
Получаем два корня:

[t=0,7сt=0,3с

1) (для ртути) Дано:
ρ - 13600 кг/м^3
g - 10 Н/кг
h - 760 мм = 0,76 м
Найдем давление ртути, выразив в Паскалях:
p=ρgh
p=13600*10*0,76=103360 Па
То есть нормальное давление атмосферы равно 103360 Па для ртути.

2) (для воды) Дано:
ρ - 1000 кг/м^3
g - 10 Н/кг
р - 103360 Па
По формуле нахождения глубины найдем высоту столба воды, который оказывает давление, равное нормальному атмосферному (760 мм ртутного столба):
h=p/(ρg)
h=103360/(10*1000)=103360/10000=10,336 м. То есть высота столба воды, оказывающего нормальное атмосферное давление, равно 10,336 метров водяного столба.

3) Найдем разницу:
S=h2/h1, где h1 - высота столба ртути, h2 - высота столба воды. Получаем:
S=10,336/0,76=13,6 м.

ответ: разница высот столбов ртути и воды равна 13,6 метров.