Применим теорему о циркуляции вектора для вычисления простейшего магнитного поля – бесконечно длинного соленоида, представляющего собой тонкий провод, намотанный плотно виток к витку на цилиндрический каркас (рис. 2.11).
Рис. 2.11
Соленоид можно представить в виде системы одинаковых круговых токов с общей прямой осью.
Бесконечно длинный соленоид симметричен любой, перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно (рис. 2.12), симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, в котором вектор перпендикулярен плоскости витка, т.е. линии магнитной индукции имеют направление параллельное оси соленоида внутри и вне его.
Рис. 2.12
Из параллельности вектора оси соленоида вытекает, что поле как внутри, так и вне соленоида должно быть однородным.
Возьмём воображаемый прямоугольный контур 1–2–3–4–1 и разместим его в соленоиде, как показано на рисунке 2.13.
Рис. 2.13
Второй и четвёртый интегралы равны нулю, т.к. вектор перпендикулярен направлению обхода, т.е .
Возьмём участок 3–4 – на большом расстоянии от соленоида, где поле стремится к нулю; и пренебрежём третьим интегралом, тогда
где – магнитная индукция на участке 1–2 – внутри соленоида, – магнитная проницаемость вещества.
Если отрезок 1–2 внутри соленоида, контур охватывает ток:
где n – число витков на единицу длины, I – ток в соленоиде (в проводнике).
Тогда магнитная индукция внутри соленоида:
, (2.7.1)
Вне соленоида:
и , т.е. .
Бесконечно длинный соленоид аналогичен плоскому конденсатору – и тут, и там поле однородно и сосредоточено внутри.
Произведение nI – называется число ампер витков на метр.
У конца полубесконечного соленоида, на его оси магнитная индукция равна:
, (2.7.2)
Практически, если длина соленоида много больше, чем его диаметр, формула (2.7.1) справедлива для точек вблизи середины, формула (2.7.2) для точек около конца.
Если же катушка короткая, что обычно и бывает на практике, то магнитная индукция в любой точке А, лежащей на оси соленоида, направлена вдоль оси (по правилу буравчика) и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей создаваемых в точке А всеми витками. В этом случае имеем:
· В точке, лежащей на середине оси соленоида магнитное поле будет максимальным:
, (2.7.3)
где L – длина соленоида, R – радиус витков.
· В произвольной точке конечного соленоида (рис. 2.14) магнитную индукцию можно найти по формуле
, (2.7.4)
Рис. 2.14
На рисунке 2.15 изображены силовые линии магнитного поля : а) металлического стержня; б) соленоида; в) железные опилки, рассыпанные на листе бумаги, помещенной над магнитом, стремятся вытянуться вдоль силовых линий; г) магнитные полюсы соленоида.
