27.10. Найдите угол между прямыми, направляющие векторы которых
имеют координаты: а) (1; -1; 1) и (1; 1; 1); б) (1; 0; 0) и (1; 1; 1).​

(1;0;0) и (1; 1; 1).

Объяснение:

Вопрос заключается в нахождении угла между прямыми, заданными направляющими векторами.

а) Для начала рассмотрим векторное произведение данных векторов. Векторное произведение двух векторов определяется по формуле:

A x B = (AyBz - AzBy)i - (AxBz - AzBx)j + (AxBy - AyBx)k

Здесь i, j и k - это единичные векторы, соответствующие осям x, y и z. A и B - это координатные векторы, в данном случае (1; -1; 1) и (1; 1; 1).

Выполним соответствующие вычисления:

(1; -1; 1) x (1; 1; 1) = (2; 0; 2)

Теперь находим длины векторов:

|A| = √(Ax^2 + Ay^2 + Az^2) = √(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = √(1 + 1 + 1) = √3

|B| = √(Bx^2 + By^2 + Bz^2) = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √(1 + 1 + 1) = √3

Теперь находим скалярное произведение векторов:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz = 2 + 0 + 2 = 4

Используя формулу для нахождения угла между векторами, получаем:

cos(θ) = (A · B)/(|A| * |B|) = 4/(√3 * √3) = 4/3

θ = arccos(4/3)

б) Проведем аналогичные вычисления для векторов (1; 0; 0) и (1; 1; 1).

(1; 0; 0) x (1; 1; 1) = (0; -1; 1)

|A| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √(1) = 1

|B| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √(1 + 1 + 1) = √3

A · B = 0 + 0 + 0 = 0

cos(θ) = (A · B)/(|A| * |B|) = 0/(1 * √3) = 0

θ = arccos(0)

Так как cos(90°) = 0, то угол между данными прямыми равен 90°.

Таким образом, углы между прямыми равны:
а) θ = arccos(4/3)
б) θ = arccos(0) = 90°