Материальная точка движется по окружности радиуса R=1м. Каковы путь l и модуль S перемещения точки за промежуток времени t = Т/2?
Выберите правильный вариант ответа из предложенных:
1) l = S = 3,14 м
2) l = S = 6,28 м
3) l = 3,14 м, S = 2 м
4) l = 3,14 м, S = 1 м

Для простоты будем считать, что Земля равномерно вращается вокруг Солнца по окружности, в центре этой окружности находится Солнце. Тогда запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, лежащей в плоскости указанной окружности и проходящей через центр Солнца.
ma = F_гр,
a - это центростремительное ускорение Земли, m - это масса Земли,
a = (v^2/R), v - это скорость вращения Земли по круговой орбите, R - это искомое расстояние.
F_гр - это сила, с которой Солнце притягивает Землю.
F_гр = G*m*M/(R^2), где M - это масса Солнца,
M = 1,98*10^30 кг
G  - это гравитационная постоянная,
G = 6,67*10^(-11) Н*м^2/(кг^2).
m*(v^2)/R = G*m*M/(R^2),
(v^2)/R = G*M/(R^2),
v^2 = G*M/R,
v = длина_окружности/период_обращения = 2*п*R/T,
T - период обращения Земли вокруг Солнца,
(2*п*R/T)^2 = G*M/R,
4*(п^2)*(R^2)/(T^2) = G*M/R,
4*(п^2)*(R^3)/(T^2) = G*M,
R^3 = G*M*(T^2)/(4*п^2);
R = ∛( G*M*(T^2)/(4*п^2) ).
п - математическая константа, п≈3,14.

1) За один период тело возвращается в начальную точку, то есть его перемещение равно нулю, следовательно за два периода (T = 4 => 2T = 2*4 = 8) тело также возвращается в нулевую координату. ответ а)

2) В неподвижном лифте маятник имеет ускорение g. А в ускоряющемся вверх лифте его ускорение равно g + a, тогда если Т = 2pi/w, а w = √(g/L), то найдём, во сколько раз изменился период Т' через отношение Т' к Т:

w = √(g/L)

w' = √((g + a)/L)

Т'/Т = 2pi/w' : 2pi/w = 2pi/w' * w/2pi = w/w' = √(g/L)/√((g + a)/L) = √(g/(g + a)) = √g : √(g + a) - для удобства избавимся от корней, т.к. отношение корней равно отношению подкоренных выражений:

Т'/Т = g/(g + a) = 9,8/(9,8 + 6,9) = 9,8/16,7 = 1/1,70408... = 1/1,7 - видно, что период Т больше периода Т' в 1,7 раза, тогда период Т' < Т в 1,7 раза. ответ д)