Рух точки задано рівняннями x=10sin(2t) см, y=5sin(2t+1.57) см. визначити рівняння траєкторії та швидкість точки в момент часу 0.5 с після початку руху.

У нас заданы две функции, которые описывают положение тела в двухмерном пространстве в зависимости от времени.
1.57 - это Pi/2, как я понимаю, тогда:

x(t) = 10sin(2t)
y(t) = 5sin(2t + Pi/2) = 5cos(2t)

Уравнение траектории составить сложно.
Ну разве что вот так вот:

2y(t) = 10cos(2t)

x^2 + 4y^2 = 100. - Неявная функция уравнение траектории тела.

Теперь скорость.
x'(t) = Vx(t) = 20 cos (2t)
y'(t) = Vy(t) = -10 sin (2t)

Vx(0.5) = 20 cos (1)
Vy(0.5) = -10 sin (1)
Далее завис, если что-то придумаю - допишу.

Траектория:
X = 10 sin(2t);  Y = 5sin(2t+pi/2)
Находим обратную функцию t(x)=0.5*arcsin(X/10)
Подставим Y = 5sin(2*0.5*arcsin(X/10) + pi/2)
 Y = 5 sin(arcsin(x/10) + pi/2) Y = 5(cos(arcsin(x/10))
Согласно cosA = sqrt(1-sin^2(A))
 Y = 5sqrt(1-sin(arcsin(x/10)*sin(arcsin(x/10)))
Y = 5*sqrt(1-x^2/100)