Становится ли магнитом гвоздь притянувшиеся к магниту? сохраняются ли магнитные свойства у железного гвоздя после удаления его от магнита?

Нет. Т.к. Гвоздь это частица, а не сам магнит. Возможность небольшого притяжения, но не большого.

Нет, гвоздь не становится магнитом.

Магнитные свойства ослабевают, так как домены приходят из упорядоченного состояния в беспорядочное.