Несколько наклонных плоскостей имеют общее основание. при каком угле наклона плоскости к горизонту альфа время соскальзывания тела будет наименьшим? трение отсутствует.

• пусть основание всех наклонных плоскостей имеет длину b, а угол, который они составляют с этим основанием, равен α

• если длина плоскости L и тело скатывается без начальной скорости, то справедливо уравнение:



○ поэтому время скатывания равно:



• по определению cosα = b/L. значит, L = b/cosα (1)

• так как трение отсутствует, то ускорение телу сообщается только горизонтальной компонентой силы тяжести, то есть a = g sinα (2)

○ используя выражения (1) и (2), получаем для времени скатывания:



• возьмем производную от t(α) и приравняем ее к нулю, дабы найти точки экстремума (предварительно упрощаю выражение):



данное равенство выполняется при sin(2α) ≠ 0 и cos(2α) = 0 (b и g равными нулю быть не могут). получаем простое тригонометрическое уравнение (k ∈ Z):



ясно, что углы больше 90° мы не рассматриваем. поэтому α = 45°. область допустимых углов:



то есть, α ≠ 90° и α ≠ 180°