Чи завжди газ під час охолодження віддає таку кількість теплоти, яку було затрачено на його нагрівання, якщо зміна температури однакова в обох випадках

Нет, так как часть теплоты может быть отдана в окружающую среду. Если взаимодействия с окружающей средой нет, то есть система изолирована, газ отдаст такое же количество теплоты, которое ему сообщили. В реальном мире не существует полностью изолированных систем