Дано:
dL = 4 см = 0,04 м
v = v0/4
L0 - ?
Частоту колебаний маятника находят по формуле:
v = 1/T
Период находят по формуле:
w = 2pi/T => T = 2pi/w
Следовательно частота равна:
v = 1/T = 1/(2pi/w) = w/2pi
w - это циклическая частота маятника, которая равна:
w = √(g/L), тогда частота v будет:
v = w/2pi = √(g/L)/2pi = √g/(√L*2pi)
Итак, частота колебаний v уменьшилась в 4 раза по сравнению с начальной частотой v0:
v = v0/4
Выразим v0 и v:
v0 = √g/(√L0*2pi)
v = v0/4 = √g/(√L0*2pi) : 4 = √g/(√L0*2pi*4)
С другой стороны учтём удлинение нити. Тогда циклическая частота после удлинения равна:
w = √(g/(L0 + dL))
Тогда частота в герцах будет:
v = w/2pi = (√(g/(L0 + dL)))/2pi = √g/(√(L0 + dL)*2pi)
Приравняем это уравнение к уравнению (v = v0/4), выразим начальную длину L0 и найдём её значение:
√g/(√(L0 + dL)*2pi) = √g/(√L0*2pi*4) | * (2pi/√g)
1/√(L0 + dL) = 1/(√L0*4) - перевернём дроби
√(L0 + dL) = √L0*4 | ² - возведём обе части уравнения в квадрат
(√(L0 + dL))² = (√L0*4)²
L0 + dL = L0*16
16*L0 - L0 = dL
15*L0 = dL
L0 = dL/15 = 0,04/15 = 4/100 : 15 = 4/1500 = 2/750 = 1/375 = 0,002666... = 0,0027 м = 2,7 мм
Проверим полученный результат через отношение v0²/v² - должно получиться примерно 4², то есть 16:
v0²/v² = g/(L0*4pi²) : g/((L0 + dL)*4pi²) = (L0 + dL)/L0 = (0,0027 + 0,04)/0,0027 = 0,427/0,0027 = 15,8148... = 16 - сходится, значит ответ верный.
ответ: начальная длина равна примерно 2,7 мм.
