теорема (фалеса): если параллельные прямые, которые пересекают сторону угла, отсекают равные отрезки на одной стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла.

определение: средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет средины двух сторон этого треугольника.

теорема: средняя линия параллельна одной из его сторон и равняется ее половине.

теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равняется их полусумме.

a1a2=a2a3, то b1b2=b2b3.

доказательство:

пусть задан угол aob. известно, что oa1=a1a2=a2a3=…, a1b1∥a2b2,a2b2∥a3b3,…. докажем, что ob1=b1b2=b2b3=…

предположим, что ob1≠b1b2. пусть серединой отрезка ob2 является некоторая точка c1. тогда отрезок a1c1 – средняя линия треугольника a2ob2. отсюда a1c1∥a2b2. значит, через точку a1 проходят две прямые, параллельные a2b2, а это противоречит аксиоме параллельности прямых. таким образом, ob1=b1b2.

предположим, что b1b2≠b2b3. пусть серединой отрезка b1b3 является некоторая точка c2. тогда отрезок a2c2 – средняя линия трапеции a3a1b1b3. отсюда a2c2∥a3b3. значит, через точку a2 проходят две прямые, параллельные a3b3, а это противоречит аксиоме параллельности прямых. таким образом, b1b2=b2b3 .

аналогично доказываем, что b2b3= b3b4 и т.д., ■.

определение: отрезки x, y, …, z называют пропорциональными отрезками a, b, …, c, если .

теорема о пропорциональных отрезках: параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки.

если прямые xk∥yp∥bt, то .

теорема (свойство медиан треугольника): все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершины треугольника.

теорема (свойство биссектрисы треугольника): биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.