На стороне ad прямоугольника abcd построен тре-
угольник ade так, что его стороны ае и de пересекают отрезок
вс в точках м и n, причем точка м середина отрезка ае.
докажите, что sabcd = sade

Треугольная пирамида.
 Известна сторона основания   а =  8√3 ≈ 13,856406 см.
Известна высота пирамиды    Н = 6 см.

tg α Угол накл. боков. грани к основан. α=arc tg1.5 =
0,982794 радиан =  56,309932 градуса. 
tgβ Угол накл. боков. ребра к основ. β = arc tg 0.75 =
= 0,643501 радиан =36,869898 градуса.
Высота треугольника в основании h = a*cos30 = 12 см
Площадь основания So = а²√3/4 =  83,138439.
Периметр Р = 3а = 41,569219.
Площадь бок.пов. Sбок = (1/2)РА = 149,87995.
Апофема  А =  7,2111026.

Полная поверхность S = 233,0184 см².
Бок.ребро L  = 10.  
Объём V  =  166,2769 см³.

Основа решения - свойство правильной треугольной пирамиды:
проекция бокового ребра на основание равн(2/3) высоты h основания, а проекция апофемы - (1/3)h.

--- 1 ---
По формуле Герона вычислим площадь исходного треугольника
полупериметр
p = (75 + 51 + 78)/2 = 102 см
Площадь (точнее, её квадрат)
S² = 102*(102 - 75)*(102 - 51)*(102 - 78) = 102 * 27 * 51 * 24
S² = 51 * 2 * 27 * 51 * 3 * 8 =  51² * 81 * 16
S₀ = 51 * 9 * 4 = 1836 см²
--- 2 ---
Наименьший угол лежит против наименьшей стороны, т.е. против стороны в 51 см
Эта сторона разбивается биссектрисой на части, пропорциональные прилежащим сторонам (75 и 78 см).
Пусть короткая часть стороны 51 см имеет длину x см, длинная - н = 51 - x см
x/75 = (51 - x)/78
78x = 51*75 - 75x
153x = 3825
x = 25 см - короткий отрезок
y = 51 - x = 26 см - длинный отрезок.
Высота, проведённая к стороне 51 см, одна и та же и для исходного, и для двух дочерних треугольников.
Площадь треугольников, при равенстве высот, пропорциональна основанию, что следует из формулы 
S = 1/2*a*h
Поэтому площадь меньшего из дочерних
S₁/S₀ = x/51 = 25/51
S₁ = S₀*25/51 = 1836*25/51 = 900 см²
Площадь большего
S₂ = S₀ - S₁ = 1836 - 900 = 836 см²