Чтобы доказать эту теорему, построим два прямоугольных гольника ABC и А'В'С', у которых углы А и А' равны, гипотенузы АВ и А'В' также равны, а углы С и С' — прямые
Наложим треугольник А'В'С' на треугольник ABC так, чтобы вершина А' совпала с вершиной А, гипотенуза А'В' — с равной гипотенузой АВ. Тогда вследствие равенства углов A и А' катет А'С' пойдёт по катету АС; катет В'С' совместится с катетом ВС: оба они перпендикуляры, проведённые к одной прямой АС из одной точки В. Значит, вершины С и С' совместятся.
Треугольник ABC совместился с треугольником А'В'С'.
Следовательно, тр. АВС = тр. А'В'С'.
№1 В Треугольнике ABC провели медианы АА(1) и ВВ(1). ВА(1)=6, АВ(1)=7, угол В= 30 градусов. Найти радиус описанной окружности.
РЕШЕНИЕ
ВА1=6, АВ1=7
медианы АА(1) и ВВ(1) < т.А1 т.В1 делят стороны пополам
тогда BA1=A1C=6 , BC=BA1+A1C=12
тогда АB1=В1C=7 , АC=АB1+В1C=14
по теореме синусов
AC /sinB = 2R
R= AC /2sinB =14/2*sin30=14
ОТВЕТ R=14
№2 в треугольнике провели биссектрису ВВ(1), угол А=60 градусов, АВ=6, АВ(1)=5. Найти В(1)С, ВС
РЕШЕНИЕ
теорема:
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
сторона АС разделена на части АВ1=5 ; В1С = х <обозначим х
AC=5+x
по теореме о биссектрисе
АВ1/В1С = АВ/ВС , тогда ВС= АВ*В1С/АВ1 =6/5*х
угол А=60 градусов
по теореме косинусов
BC^2=AB^2+AC^2 - 2AB*AC*cosA
(6/5*х)^2 = 6^2+(5+x)^2 -2*6*(5+x)*cos60
(1.2x)^2 = 36+25+10x+x^2 -30 -6x
0.44x^2-4x-31 =0 <---квадратное уравнение
D=70.56 ; ѴD=8.4
x1= -5 <не подходит x>0
x2= 14
В1С = х =14
BC = 6/5*x=6/5*14=16,8
ОТВЕТ В(1)С= 14 , ВС =16.8
