Даны точки a ( 1; -1; 0) и b ( -3; -1; 2). вычислите расстояние от начала координат до середины отрезка ab.

По-моему решается так:
1) Назовём прямоугольник АВСД, биссектриса проведена к стороне АВ. Точка касания - М. Тогда по условию AM = MB.
2) Биссектриса делит угол АСД на равные углы АСМ и МСД.
3) Так как по свойству прямоугольника АВ параллельно СД, то угол МСД равен углу АМС (как накрест лежащие при секущей СМ).
4) Получим равнобедренный треугольник АСМ, сторона АС которого равна 5. А так как треугольник равнобедренный, то АС = АМ = 5.
5) АМ = МВ = 5, следовательно сторона АВ = 5+5= 10.
6) Периметр прямоугольника равен (10+5)2= 30
ответ: 30

Рассмотрим попарно равные треугольники ΔАОN=ΔBОN ,  они равны по катету /ВО=АО/ и общей гипотенузе ОN,

ΔАОM=ΔCОM,  они равны по катету /СО=АО/ и общей гипотенузе ОМ,   ΔBОL=ΔCОL, они равны по катету /СО=ВО/ и общей гипотенузе ОL, из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов ,∠ АОN=∠BОN; ∠BОL=∠CОL; ∠АОМ=∠CОL.

По условию ∠NMO=40°;  ∠MAO=90°⇒∠AOM=180°-90°-40°=50°, тогда ∠АОС=2*50°=100°;

Аналогично, ∠LNO=42° ∠NBO=90°⇒∠NOB=180°-90°-42°=48°⇒∠BOA=2*48°=96°

Т.к. сумма всех углов при вершине О равна 360°, то на оставшийся ∠ВОС приходится 360°-100°-96°=164°