Пусть ABC - прямоугольный треугольник, Угол ACB -прямой,CE-медиана, СD- биссектриса
Так как CD биссектрисса, то угол ACD = углу DCB=45°
Медиана проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника,равна ее половине, то есть AE=EB=CE=c/2
Треугольник AEC - равнобедренный, угол ACE=45°-y
Из вершины E треугольника на AC опустим высоту EK, тогда
cos(KCE)=KC/CE =>KC=CE*cos(KCE)=(c/2)*cos(45°-y)
AK=KC=AC/2 =>AC=2*(c/2)*cos(45°)=c*cos(45°-y)=
=c*[cos(45°)*cos(y)+sin(45°)*sin(y)]=
=c*(1/sqrt(2))*cos(y)+sin(y)]=(c/sqrt(2))*[cos(y)+sin(y)]
Рассмотрим треугольник (равнобедренный) CEB
Угол ECB=45°+y
Из вершины Е на сторону CB опустим высоту
cos(ECM)=CM/CE => CM=CE*cos(ECM)=(c/2)*cos(45°+y)
CM=MB=CB/2 => CB=2*(c/2)*cos(45°+y)=c*cos(45°+y)=
=c*[cos(45°)*cos(y)-sin(45°)*sin(y))=
=c*(1/sqrt(2)*[cos(y)-sin(y)]
Далее находим площадь
S=AC*CB/2=(1/2)*(c/sqrt(2))*[cos(y)+sin(y)]*(1/sqrt(2)*[cos(y)-sin(y)]=
=(c^2/4)*(cos(y)+sin(y)*(cos(y)-sin(y))=(c^2/4)*[sin^2(x)-cos^2(x)]
=
Если из точки, с которой проведены перпендикуляры к сторонам многоугольника провести еще и прямые соединяющие концы сторон многоугольника, то мы получим n-теугольников. Площадь одного такого треугольника равна
(1/2)*l*a, где l – перпендикуляр к стороне многоугольника, а а-сторона многоугольника.
Сложив площади всех треугольников, мы получим площадь многоугольника S=(n/2)*(l1+l2+… +ln)*a
С другой стороны, площадь многоугольника вписанного в окружность равна
S=r*n*a/2
То есть
(n/2)*(l1+l2+… +ln)*a= r*n*a/2
То есть
(l1+l2+… +ln)*a= r*a
Что и надо было доказать
