Прямокутника 12 см знайти довжини діагоналей якщо вони перетенаются під кутом 60 градусів

Пусть О₁ и O₂ - центры квадратов построенных на BC и AD соответственно, О - точка пересечения диагоналей трапеции, О' - точка пересечения AC и O₁O₂. Докажем, что О' совпадает с О.
1) O₁C||O₂A, т.к. ∠O₁CA=45°+∠BCA, ∠O₂AC=45°+∠DAC, ∠DAC=∠BCA, т.е. внутр. накрест лежащие углы ∠O₁CA и ∠O₂AС равны.
2) Значит треугольники  O₁CO' и O₂AO' подобны (по двум углам), т.е.
CO'/AO'=CO₁/AO₂=(BC/√2)/(AD/√2)=BC/AD.
3) Но О тоже делит AC в отношении BC/AD, т.к. треугольники BCO и DAO подобны. Значит O' совпадает с O.

ответ: КМ=10см

Объяснение: обозначим расстояние отрезок от точки К до прямой АС- КМ. Проэкция КМ на плоскость АВС- это ВМ. ∆АВС- равнобедренный, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому угол В=90-45=45°. Углы треугольника при основании равны, поэтому АВ=ВС. Проэкция ВМ тогда является медианой, и поскольку медиана проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, то ВМ=½× АС=12/2=6см. Проэкция ВМ, перпендикуляр ВК и КМ образуют прямоугольный треугольник с катета и ВК и ВМ, а КМ - гипотенуза. Найдём её по теореме Пифагора:

КМ²=ВК²+ВМ²=8²+6²=64+36=100;

КМ=√100=10см