Диагонали прямоугольника abcd пересекаются в точке o. найдите угол между диагоналями, если угол abo= 80 градусов.

О -  точка пересечения биссектрис треугольника АВС.  

∠AOB = ∠COB. Найти наименьший угол треугольника ABC, если ∠ABC в три раза меньше  ∠AOC

ответ: 36°

Объяснение:  

ВО- биссектриса угла В, ∠AOB =∠COB (дано)⇒

∆ АОВ=∆ СОВ по двум углам при общей стороне ВО ( 2-й признак). ⇒

∠ВОА=∠ВОС.

 Т.к. АО и СО - биссектрисы, то и ∠ВАС=∠ВСА. как состоящие из равных половинок. ⇒ ∆ АВС равнобедренный.

Примем ∠ОАС и ∠ОСА равными α. Тогда ∠АОС=180°-2α.

∠АВС=180°-4 α.

Составим уравнение согласно  условию:

∠ АОС=3∠ АВС⇒

180°-2α=3(180°-4α). Произведя необходимые вычисления, получим 10α=360°⇒ α=36°

Угол АВС=180°-4•36°=36°.

Углы А и С вдвое больше α, они равны по 72°.

Следовательно, наименьший угол  ∆ АВС - угол АВС=36°

Для наглядности решения нужно начертить квадрат ABCD, провести диагональ АС, затем разделить все стороны квадрата пополам, соединить их между собой; получаем некий четырехугольник 1234 ( точка 1 - середина стороны AB, точка 2 - середина BC и тд. Решение. 1. Находим, чему равна сторона квадрата: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Сторона квадрата - катет равна а. 2а² =36; а² = 18; а= 3√ 2; 2. Рассмотрим прямоугольный Δ 1В2; его катеты 1В и В2 равны половине стороны квадрата и равны 3/2 √ 2; тогда гипотенуза, она же сторона вписанного четырехугольника, периметр которого нужно найти равна: √ [ (3/2√ 2)² + (3/2√ 2)²] = √9 = 3. Нетрудно увидеть, что остальные стороны вписанного четырехугольника тоже равны 3; тогда периметр его P= 4x3=12(см). ответ: периметр четырехугольника равен 12см