Abc — равносторонний треугольник, точки m, n и k — серединные точки сторон. площадь треугольника mnk равна 4 кв. ед. изм.

определи площадь четырёхугольника mncb:
кв. ед. изм.

2. площадь комнаты равна 9 м2.
можно ли разместить в комнате ковры 2 м2; 3 м2 и 5 м2, чтобы ковры не перекрывались?

Две первых задачи решены Пользователем
Maksim2009rus Хорошист

3. Так как пирамида правильная, в основании квадрат, а основание высоты - точка О - точка пересечения диагоналей квадрата.

ОН⊥CD, ОН - проекция SH на основание, значит и SH⊥CD по теореме о трех перпендикулярах. ⇒
∠SHO = 60° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.

ОН║AD как перпендикуляры к одной прямой, ⇒ ОН - средняя линия треугольника ACD, ОН = AD/2 = 3 см.

ΔSOH: ∠SOH = 90°,
             cos∠SHO = OH/SH
SH = OH / cos60° = 3 / (1/2) = 6 см

Sполн = Sбок + Sосн =
= 0,5Pосн · SH + AD² = 0,5 · 24 · 6 + 36 = 72 + 36 = 108 см²

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:

Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:

Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:

Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:

Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:

Подставим вместо а+b и с известные выражения:

Выполняем преобразования:

Возведем обе части в квадрат:

R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:

Домножаем на r:

Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
ответ: 2Rr+r²