Так как точка К симметрична точке М относительно прямой АС, то
КМ⊥АС и КО = ОМ.
Так как точка N симметрична точке М относительно прямой АВ, то
NM⊥AB и NP = PM.
Рассмотрим треугольники ВМР и СМО:
ВМ = МС, так как М - середина ВС,
∠ВРМ = ∠СОМ = 90°,
∠МВР = ∠МСО = 60° (так как треугольник АВС правильный), ⇒
ΔВМР = ΔСМО по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников следует:
МР = МО, и значит МN = MK,
∠ВМР = ∠СМО.
АМ - медиана и высота ΔАВС, тогда
∠AMN = 90° - ∠ВМР
∠АМК = 90° - ∠СМО, а так как ∠ВМР = ∠СМО, то и
∠AMN = ∠АМК.
Итак, ΔMNK равнобедренный с основанием NK,
МТ - его биссектриса, проведенная к основанию, значит МТ - высота.
Следовательно NK⊥AM.
