1. KA - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Известно, КВ⊥BC.
а) докажите, что треугольник ABC - прямоугольный.
б) докажите, перпендикулярность плоскостей KAC и ABC.
в) найдите KA, если AC = 13 см, BC = 5 см, ∠KBA = 45°.
а) КВ - наклонная к плоскости ΔАВС, АВ - ее проекция, так как КВ⊥ВС, то и АВ⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит ΔАВС прямоугольный.
б) КА⊥(АВС), КА⊂(КАС), ⇒ (КАС)⊥(АВС), так как если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
в) Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
АВ = √(АС² - ВС²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см
ΔКАВ прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный,
КА = АВ = 12 см
2. ВО⊥α. ВО - искомое расстояние от точки В до плоскости α.
Пусть Н - середина АС. Треугольник АВС равнобедренный, значит ВН - медиана и высота треугольника.
ВН⊥АС, ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит
∠ВНО = 30° - линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и α.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора:
ВН = √(АВ² - АН²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см
ΔВОН: ∠ВОН = 90°,
ВО = ВН/2 = 8 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.
3. АО⊥α.
ОВ и ОС - проекции наклонных на плоскость α.
∠АВО = ∠АСО - углы, образованные наклонными с плоскостью α.
ΔАОВ = ΔАОС по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет, ∠АВО = ∠АСО по условию), значит
АВ = АС, а так как АВ = ВС по условию, то треугольник АВС равносторонний.
Углы ΔАВС равны 60°.
ответ:1. Так как дан правильный тетраедр, то независимо от данных граней искомое сечение будет являться равносторонним треугольником MNK. При построении этого сечения необходимо провести параллельные отрезки каждой стороне грани ADB, которая по определению правильного тетраэдра — равносторонний треугольник. Таким образом искомое сечение тоже является равносторонним треугольником, подобным треугольнику ADB.
2. Рассмотрим рисунок грани DCB, через центр O которой мы проводим сторону сечения NK.
image
Объяснение:
