1. в треугольнике abc точки m и n – середины сторон ав и вс соответственно. найдите длину mn, если вс= 8 см, ав=12 см, ас=14 см.
a) 4
b) 6
c) 7
d) 10

2. найдите высоту ch прямоугольного треугольника abc с прямым углом с, если ав=13 см, bh=9 см.
a) 6
b) 11
c) 36
d) 12

3. в равнобедренном треугольнике abc с основанием ас медианы пересекаются в точке о. найдите длину высоты bh, если во=4 см.
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2

4. в треугольнике abc угол c=90º, угол а=50º, bc=5 см. найдите длину ас.
a) вс·tg50º
b) bc·sin50
c) bc: sin50
d) bc: tg50

5. cosa=5/13 (запись дробью). найдите sina.
a) 12/13
b) 8/13
c) 5/13
d) 13/5

6. радиус окружности с центром о равен 6 см. найдите ао, если ав=8 см.
a) 6
b) 10
c) 12
d) 14

7. из точки а проведены две касательные к окружности с центром в точке о. точки в и с – точки касания, ов=6 см, ао=12 см. найдите угол boc. (схема прикреплена ниже)
a) 60º
b) 90º
c) 120º
d) 45º

8. вершины треугольника mnp лежат на окружности, угол m=80º, угол n=30º. чему равна градусная мера наименьшей из дуг mn?
a) 110º
b) 140º
c) 160º
d) 60º

9. хорды ap и bk пересекаются в точке q. aq=7 см, qp=4 см, bq=14 см. найдите длину qk.
a) 2,5
b) 3
c) 2
d) 4

10. в треугольник abc вписана в окружность радиуса 3. найдите площадь треугольника abc, если его периметр равен 12 см.
a) 15
b) 36
c) 9
d) 18


(необходимо записать подробное решение и сделать чертеж)
11. отрезки касательных ха и хв, проведенных к окружности с центром о радиуса 10, образуют угол axb. найдите длины хм и мо, если м – точка пересечения хо и ав.
12. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию равна 12 см, а основание равно 10 см. найдите периметр и площадь треугольника.
13. вычислите площадь ромба и расстояние между его параллельными сторонами, если сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей равна 16 см.

1) Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
2) Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
Отсюда следует
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Теорема доказана.

Из теоремы следует:
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
3) Сумма углов треугольника = 180 градусов. Если один из углов прямой (90 градусов) на два остальных приходится тоже 90. значит, каждый из них - меньше 90 то есть они - острые. если один из углов - тупой, то на два остальных приходится менее 90 то есть они явно острые.
4) тупоугольный - больше 90 градусов
остроугольный - меньше 90 градусов
5) а. Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов.
б. Катеты и гипотенуза
6) 6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
7) По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит гипотенуза больше каждого из катетов
8) --- тоже самое, что и 7
9) сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы аждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно - каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
10) Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Т. к. этот треугольник прямоугольный, то один из углов у него прямой, т. е. равен 90 градусам.
Следовательно, сумма двух других острых углов равна 180-90=90 градусов.
11) 1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.докажем это.рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.

1)Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. 2) Острый угол- угол с градусной мерой менее 90гр. сумма градусов углов треугольника 180гр. соответственно если 2 угла тупые то это уже более 180 градусов, а для 3-го ничего не остаётся, поэтому тупой или прямой угол в треуг. может быть только один. 3)Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые...
Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов тупой. 
6)в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы всегда больше СУММЫ квадратов катетов