Отрезок ab пересекает плоскость альфа в точке b

Соединим точки А1 и С, В1 и А, С1 и В.
АА1, ВВ1 и СС1 являются медианами треугольников SΔСС1А1, SΔAA1В1, SΔВВ1С1 соответственно.
По свойствам медианы, которая делит треугольник на два треугольника равной площади, имеем равенство площадей треугольников
SΔAC1A1=SΔAA1C    SΔBA1B1=SΔBB1A    SΔCB1C1=SΔCC1B

В свою очередь ВС, АС, ВА являются медианами в треугольниках SΔAA1C, SΔBB1A, SΔCC1B соответственно, следовательно также делят эти треугольники на два треугольника с равными площадями.
Отсюда площади каждого из этих треугольников равны 2.
А площадь всего треугольника А1В1С1=2+2+2+1=9
 

Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны a и b. Найти гипотенузу треугольника.

Пусть данный треугольник АВС, угол С=90º, 

а - медиана  АА1 к ВС, b- медиана  ВВ1 к АС. 

В ∆ АСА1 катет СА1=0,5 ВС ⇒ по т.Пифагора:

 а²=АС²+(0,5ВС)²=АС²+0,25 ВС²

В ∆ ВСВ1 катет СВ1=0,5 АС ⇒ по т.Пифагора:

 b²=ВС²+(0,5 АС)²=ВС²+0,25 АС²

Сложим два уравнения 

а²+b²=1,25 (АС²+ВС²)⇒

АС²+ВС²=(а²+b²):1,25 ⇒

АВ²=АС²+ВС²=(а²+b²):1,25 

АВ=√[(а²+b²):1,25]=0,4√[5•(а²+b²)] или 2√[(а²+b²):5], что одно и то же.