Рассмотрим треугольник АСН.
Если СН — высота, то угол СНА = 90 градусов =>
угол НСА = 180 - угол СНА - угол А = 180 - 90 - 60 = 30 градусов.
Из свойств прямоугольного треугольника знаем, что катет, лежащий против угла в 30 градусов, в 2 раза меньше гипотенузы =>
АН = АС/2, значит
АС = 2 ∙ АН = 12 см
Рассмотрим треугольник АСВ.
Если угол С = 90, а угол А = 60, то угол В = 30 градусов.
Из свойств прямоугольного треугольника знаем, что катет, лежащий против угла в 30 градусов, в 2 раза меньше гипотенузы =>
АС = АВ/2, значит
АВ = 2 ∙ АС = 24 см
АВ = АН + ВН
ВН = АВ - АН = 24 - 6 = 18 см.
ответ: ВН = 18 см.
Если что, вот как должен выглядеть рисунок:
В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и углом А = 60 градусов проведена высота С
Если два треугольника имеют равный угол, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: Sabc /Sa₁b₁c₁ = (AB · AC) / (A₁B₁ · A₁C₁) .
Доказательство:
Наложим треугольники так, чтобы угол А совместился с углом А₁, а стороны А₁В₁ и А₁С₁ лежали на лучах АВ и АС соответственно.
Проведем ВН - высоту ΔАВС. ВН является так же и высотой треугольника А₁ВС₁.
Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как их основания (стороны, к которым проведена высота):
Sabc / Sa₁bc₁ = AC / A₁C₁ (1)
Проведем С₁Н₁ - высоту ΔА₁В₁С₁. С₁Н₁ является так же и высотой треугольника АВС₁, значит
Sabc₁ / Sa₁b₁c₁ = AB / A₁B₁ (2)
Перемножим равенства (1) и (2):
(Sabc / Sa₁bc₁) · (Sabc₁ / Sa₁b₁c₁) = (AC / A₁C₁) · (AB / A₁B₁)
Так как Sa₁bc₁ и Sabc₁ это площадь одного и того же треугольника, она сокращается и получаем:
Sabc / Sa₁b₁c₁ = (AB · AC) / (A₁B₁ · A₁C₁)
