1) найти уравнение плоскости, проходящей через точку p(-2; 3; 7) параллельно
a) плоскости 2x+3y+z+1=0
б) плоскости x0y

2) составить уравнение плоскости, проходящей через точку m0 (2; 1; -5) параллельно векторам a=(1; -2; 0) и b=(2; 3; 1). найти точки пересечения плоскости с осями координат и построить её.

3) при каких значениях а и в плоскости ax+3y-5x+1=0, 2x+by+15z-3=0 параллельны?

4) написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку m0(-4; 0; 5) перпендикулярно плоскости 4x-y+3z=0. найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

5) найти точку пересечения медианы bd треугольника abc с плоскостью x-y+z=0, если a(-5; 1; -2), b(1; 2; -3), c(3; 3; 2).

6) доказать перпендикулярность прямых
(x+4)/1 = (y-2)/(-2) = (z-1)/3
и
{3x+y-5z+1=0
{2x+3y-8z+3=0

7) каково взаимное расположение прямой (x+2)/3 = (y-5)/4 = z/1 и плоскости 3x-2y-z+15=0

 Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 12,  радиус окружности, описанной около основания, равен 6.  Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.    
-------------------------
 Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат. 
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине  диагонали квадрата. 
 Пусть основание - АВСД. 
Центр описанной окружности квадрата находится в точке  пересечения его диагоналей и является основанием КО -  высоты  пирамиды. 
Радиус описанной окружности АО=ОВ,  апофема - КН. 
 Из прямоугольного треугольника АОВ сторона  АВ по т. Пифагора равна 6√2. 
Косинус двугранного угла при основании пирамиды найдем из  прямоугольного треугольника КНО
 cоs∠КНО=ОН:КН. 
ОН - высота и медиана равнобедренного прямоугольного ⊿ АОВ и равна АН  
ОН=АВ:2=6√2:2=3√2  
cоs∠КНО=(3√2):12= (√2):4  или иначе 1:(2√2)

Проекции катетов на гипотенузу - это отрезки, на которые делит гипотенузу высота, опущенная на нее из прямого угла. Известно, что квадрат этой высоты равен произведению величин отрезков гипотенузы, то есть h = √(1*3) = √3. Тогда в прямоугольных треугольниках, на которые делится исходный прямоугольный треугольник высотой из прямого угла на гипотенузу, имеем: тангенсы острых углов исходного треугольника равны отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть  √3/1 и √3/3. Значит эти углы соответственно равны 60° и 30°.