Определите длины отрезков ab, ac, ad в прямоугольном треугольнике abc, если bd = 5см, bc = 8см.

Биссектриса правильного треугольника является и высотой и медианой этого треугольника. 

Центр вписанного треугольника находится в точке пересечении биссектрис. Эта точка  является и точкой пересечения медиан. 

Медианы этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины .

И теперь самое интересное. 

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен 1/3 ее высоты ( медианы, биссектрисы)

Радиус вписанной окружности этого треугольника равен 

r=24*3=8 cм

Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров. 

Срединные перпендикуляры  -  и высоты, и биссектрисы, и медианы.

Радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 ее высоты. 

R= 24*3*2=16 cм

 

 

Пусть АС=4х, ВD=6x, тогда отношение AC:BD=4x:6x=2:3

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.
По теореме Пифагора сторона ромба
а²=(d₁/2)²+(d₂/2)²=(2x)²+(3x)²=13x²
а=х√13

Из формул для вычисления площади треугольника АОВ
S(Δ AOB)=AO·OB/2
и
S(Δ AOB)=AB·OE/2

находим OE
AO·OB=AB·OE
OE=2x·3x/х√13=6х/√13.

Из треугольника АОЕ по теореме Пифагора
AE²=AO²-EO²=(2x)²-(6x/√13)²=4x²-(36x²/13)=(52x²-36x²)/13=16x²/13
AE=4x/√13

S(Δ AOE)=AE·OE/2

(4x/√13)·(6x/√13)=54
24x²=54·13
x²=9·13/4

S(ромба)=a·h=(x√13)·2OE=(x√13)·2·(6x/√13)=12x²=12·(9·13/4)=27·13=
=351 кв. ед