5000 стороны треугольника 6 см 9 см и 12 см найдите отрезки на которые делит сторону треугольника биссектрисы его наибольшего

Из за того, что один из отрезков равен радиусу, угол треугольника с вершиной в конце этого отрезка - прямой (там получается ромб из 2 отрезков касательных и из 2 радиусов, ясно что это квадрат, поскольку углы между касательными и радиусами в точки касания прямые). 

Для прямоугольного треугольника  стороны a = 4 + 5 = 9; b = x + 4; c = x + 5; связаны теоремой Пифагора. (x  - единственный неизвестный из отрезков, на которые точки касания вписанной окружности делят стороны)

(x + 4)^2 + 9^2 = (x + 5)^2;

4^2 + 9^2 - 5^2 = 2*x;

x = 36;

Стороны 9, 40, 41, это известная Пифагорова тройка (наподобие 3,4,5 или 5,12,13)

Некоторые задачи можно решать разными Ниже приводится вариант решения этой задачи.
Из С проведем прямую, параллельную диагонали BD до пересечения с продолжением AD.
Точку пересечения обозначим К.
Площадь трапеции равна  половине произведения высоты на сумму оснований.
Из С опустим высоту СН на АD.
S  трап ABCD=СН*(BC+AD):2
Рассмотрим треугольник АСК. В нем DK параллельна ВС как продолжение основания трапеции. 
ВD=CK  и параллельна ей по построению.
Следовательно, четырехугольник DВСК - параллелограмм и DK=BС=7 см
АК=АD+DK=13+7=20 см
Площадь треугольника  равна половине произведения высоты на основание 
S Δ АСК=СН*АК:2
Но АК равна сумме оснований трапеции. 
Следовательно,
S  трап ABCD=S Δ АСК=СН*АК:2
Площадь треугольника АСК можно найти двумя
1) - по формуле Герона.
2) обратив внимание на отношение сторон треугольника АСК. СК:АС:АК=3:4:5, и это отношение сторон прямоугольного"египетского" треугольника.
Треугольник АСК - прямоугольный, ( можете проверить т. Пифагора) и его площадь равна половине произведения катетов:
S Δ АСК=СК*АС:2 =16*12:2
S Δ АСК=96 см²
Ясно, что, поскольку площадь трапеции равна площади этого треугольника,  её площадь также равна 96 см².
Можно из интереса найти эту площадь по ф. Герона и получить тот же результат.
S  трап ABCD= 96 см²