Розглянемо трикутники АВМ і А1В1М1. За умовою АВ = А1В1, АМ = А1М1, ﮮВАС = ﮮВ1А1С1. Оскільки АМ і А1М1 – бісектриси рівних кутів ВАС і В1А1С1, тоді ﮮВАС = 2ﮮВАМ = ﮮВ1А1С1 = 2ﮮВ1А1М1, тобто ﮮВАМ = ﮮВ1А1М1. За двома сторонами та кутом між ними ∆ВАМ = ∆В1А1М1. У рівних трикутників відповідні сторони та кути рівні АВ = А1В1, ﮮВМА = ﮮВ1М1А1. Розглянемо трикутники АМС і А1М1С1. За умовою ﮮВАС = 2ﮮМАС = ﮮВ1А1С1 = 2ﮮМ1А1С1, тобто ﮮМАС = ﮮМ1А1С1, переконаємось, що ﮮАМС = ﮮА1М1С1, тобто різниця величин двох кутів дорівнює нулю. Кути розгорнуті ﮮВАС = ﮮВ1М1С1 = 180˚. Тому ﮮАМС – ﮮА1М1С1 = (180˚ - ﮮВМА) – (180˚ - ﮮВ1М1А1) = ﮮВ1М1А1 – ﮮВМА = 0˚. За стороною і двома прилеглими кутами ∆АМС = ∆А1М1С1. У рівних трикутників відповідні сторони і кути рівні АС = А1С1, ﮮАСВ = ﮮА1С1В1, МС = МС1. За основною властивістю довжини відрізка ВС = ВМ + МВ = В1С1 = В1М1 + М1С1. Трикутники АВС і А1В1С1 рівні.
В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия[⇨]), метод площадей[⇨], существуют также различные экзотические доказательства (например, с дифференциальных уравнений).
Через подобные треугольники
Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры.[10] В нём для треугольника ABC с прямым углом при вершине C со сторонамиa,b,c, противолежащими вершинам A,B,C соответственно, проводится высота при этом согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: и , из чего непосредственно следуют соотношения.
При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства:
покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат.
(хз надеюсь правильно)
