Дан параллелепипед abcda1b1c1d1.
какие отрезки являются его диагоналями?
1) dc1
2)ac1
3)cd1
4)a1b
5)bd1
6)ac
​

1. Дан прямоугольник и его диагональ

Рассмотрим треугольник ADC, где угол D - прямой по правилу прямоугольника

Значит треугольник ADC - прямоугольный. В нём известен угол 30 градусов, а мы знаем, что катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит DC = AC/2 = 4

Теперь найдём катет AD по теореме Пифагора:

AD^2 = AC^2 - DC^2

AD^2 = 64 - 16 = 48

AD = √48 = 4√3 (представили 48, как 16*3 и вынесли корень из 16)

Теперь найдём площадь прямоугольника по формуле: S = ab

S = CD * AD = 4√3 * 4 = 16√3

ответ: 16√3

2. Дан квадрат и его диагональ

Рассмотрим треугольник ABC, где угол B - прямой по правилу квадрата.

Значит треугольник ADC - прямоугольный. Катеты в нём равны, можем обозначить за х

Получается: AB = BC = x

Их можно найти по теореме Пифагора:

AB^2 + BC^2 = AC^2

x^2 + x^2 = 16

2x^2 = 16

x^2 = 8

x = √8 = 2√2 (представили 8, как 4*2 и вынесли корень из 4)

Обе эти стороны равны 2√2, можем найти площадь квадрата по формуле S = a² = (2√2)² = 4 * 2 = 8

ответ: 8

Оставляю эти 2, дальше время поджимает

DE||FC
DF||EC
CEDF - параллелограмм.

∠FCE= 90°
Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
[∠DFC=180°-∠FCE=90° (внутренние односторонние углы при параллельных прямых); ∠EDF=∠FCE=90°; ∠CED=∠DFC=90°(противоположные углы параллелограмма)]
CEDF - прямоугольник.

∠DCE= ∠FCE/2 = 90°/2 =45°
∠EDC= 180°-∠CED-∠DCE = 180°-90°-45° =45°
△DCE - равнобедренный.
DE=EC
Если смежные стороны параллелограмма равны, то он является ромбом.
[DE=FC; EC=DF (противоположные стороны параллелограмма); FC=DF]
CEDF - ромб.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
CEDF - квадрат.