Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок). Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
Дан треугольник с вершинами А(3;4), В(2;5) и С(7;8) Составить уравнение прямой проходящей a) через вершину А, параллельно стороне BC. Есть готовая формула: Уравнение А ║ ВС: (х - хА)/(хС - хВ) = (у - уА)/(уС - уВ) А ║ВС: (х - 3) у - 4 = 5 3 В общем виде 3х - 9 = 5у - 20. 3х - 5у + 11 = 0.
б) через вершину С, перпендикулярно стороне АB (А(3;4), В(2;5)). Уравнение АВ: (х-3)/(-1) = (х-4)/1. 1 Х + 1 У - 7 = 0, у = -х + 7. Уравнение перпендикулярной прямой у =(-1/(-1)*х + в = х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки С(7;8). 8 = 7 + в, в = 8 - 7 = 1. Получаем уравнение у = х + 1.
в) через вершину B, и середину стороны АС.А(3;4), В(2;5) и С(7;8) Находим координаты точки Д - середину АС: Д((3+7)/2=5; (4+8)/2=6) = (5; 6). Уравнение ВД: В(2;5) и Д(5; 6). (х-2)/3 = (у-5)/1. х-3у+13 = 0, у = (1/3)х + (13/3).
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
