Одна сторона прямоугольника равна х, х>0, вторая у, у>0. Площадь прямоугольника S = xy = 2 откуда y = 2/x. Рассмотрим функцию:
P(x)=2х+2у=2х+2*2/х=2х+4/х
Найдем производную этой функции, приравняем к нулю, получим критические точки
2-(4/х²)=0, откуда 4-2х²=0
х²≠0, х=±√2
Поскольку отрицательный корень x = -√2 не подходит по смыслу задачи, то берем критическую точку х=√2, разбиваем ею числовую ось и проверяем, какие знаки принимает производная на интервалах (0;√2);(√2;+∞)
(0)___-(√2)+
Производная функции при переходе через точку x = √2 меняет знак с минуса на плюс, поэтому х=√2 - точка минимума функции.
у=2/√2=√2
А наименьший периметр прямоугольника будет равен 4√2, если обе стороны равны √2, т.е. когда прямоугольник превратится в квадрат.
ответ: r = 3√15/4
S = 63√15 / 8
Объяснение:
ОК⊥АВ и ОН⊥ВС как радиусы, проведенные в точки касания.
ОК = ОН = r,
ОВ - общая сторона для треугольников ВОК и ВОН, ⇒
ΔВОК = ΔВОН по катету и гипотенузе, ⇒
∠ОВК = ∠ОВН, ⇒
ВО - биссектриса угла АВС.
Из прямоугольных треугольников по теореме Пифагора выразим отрезки сторон АВ и ВС:
AK = √(9 - r²)
KB = √(36 - r²)
BH = √(36 - r²)
HC = √(16 - r²), тогда
АВ = √(9 - r²) + √(36 - r²)
ВС = √(16 - r²) + √(36 - r²)
По свойству биссектрисы угла треугольника:
АВ : ВС = АО : ОС
Возводим обе части уравнения в квадрат:
16(9 - r²) + 8√(36 - r²)√(9 - r²) + 36 - r² = 9(16 - r²)
144 - 16r² + 8√(36 - r²)√(9 - r²) + 36 - r² = 144 - 9r²
8√(36 - r²)√(9 - r²) = 8r² - 36
2√(36 - r²)√(9 - r²) = 2r² - 9
Возводим в квадрат еще раз:
4(36 - r²) · (9 - r²) = 4r⁴ - 36r² + 81
4(324 - 45r² + r⁴) = 4r⁴ - 36r² + 81
1296 - 180r² + 4r⁴ = 4r⁴ - 36r² + 81
144r² = 1215
r² = 135/16
r = 3√15/4
AB = √(9 - 135/16) + √(36 - 135/16) = √((144 - 135) / 16) + √((576 - 135) / 16) =
= √(9/16) + √(441/16) = 3/4 + 21/4 = 24/4 = 6
BC = √(36 - 135/16) + √(16 - 135/16) = 21/4 + √((256 - 135) / 16) =
=21/4 + √(121/16) = 21/4 + 11/4 = 32/4 = 8
Полупериметр:
p = (AB + BC + AC)/2 = (6 + 8 + 7)/2 = 21/2
S = pr
S = 21/2 · 3√15/4 = 63√15/8 кв. ед.
