рассмотрим тр.АВС-прямоугольный.где уголАВС=90градусов.проведем высоту к гипотенузе АС, получим точку пересечения высоты с гипотенузой обазначим её D.Треугольник ADB подобен треугольнику ABC по двум углам.уголABC = уголADB = 90°, уголBAD - общий. Из подобия треугольников получаем соотношение сторон: AD/AB = BD/BC = AB/AC. Берем первое и последнее соотношение пропорции и получаем, что AD = AB²/AC.поскольку треугольник ADB прямоугольный, для него справедлива теорема Пифагора: AB² = AD² + BD². Подставляем в это равенство AD. Получается, что BD² = AB² - (AB²/AC)². Или, что то же, BD² = AB²(AC²-AB²)/AC². Так как треугольник ABC прямоугольный, то AC² - AB² = BC², тогда получим BD² = AB²BC²/AC² или, извлекая корень из обеих частей равенства, BD = AB*BC/AC.с другой стороны, треугольник BDC также подобен треугольнику ABC по двум углам: уголABC = уголBDC = 90°, ∠DCB - общий. Из подобия этих треугольников получаем соотношение сторон: BD/AB = DC/BC = BC/AC. Из этой пропорции выражаем DC через стороны изначального прямоугольного треугольника. Для этого рассматриваем второе равенство в пропорции и получаем, что DC = BC²/AC. Тогда BD² = (AB*BC/AC)² = AD*AC*DC*AC/AC² = AD*DC. Таким образом, высота BD равна корню из произведения AD и DC
Цифорки подставите)
Обратим внимание, что АК вдвое меньше АС, а
АL вдвое меньше АВ,
угол А для обоих треугольников общий.
Отсюда эти треугольники имеют две пропорциональные стороны с равным для двух треугольников углом между ними.
Следовательно, эти треугольники подобны:
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключённые между этими сторонами, равны.
Соответственные углы в подобных треугольниках равны.
Угол В лежит против АС -большей стороны треугольника АВС, и угол ALK лежи против стороны АК, соответственной стороне АС.
Угол ALK равен углу В, что и требовалось доказать.
