Впонедельник контрольная 20 б

1. точки m и k — середины сторон ab и ac треугольника abc соответственно. найдите периметр треугольника amk, если ab = 12 см, bc = 8 см, ac = 14 см.

2. одно из оснований трапеции на 6 см больше другого, а её средняя линия равна 9 см. найдите основания трапеции.

3. две противолежащие стороны четырёхугольника равны 9 см и 16 см. чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?

4. большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а её боковая сторона — 6 см. найдите периметр трапеции, если её диагональ делит острый угол трапеции пополам.

5. найдите углы четырёхугольника abcd, вписанного в окружность, если ∠acb = 36°,
∠abd = 48°, ∠bac = 85°.

6. диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр —
30 см. найдите боковую сторону трапеции

Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.

Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а.
Доказать: а - касательная к окружности.
Доказательство:
Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности.
Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.

А1  Если точка лежит в плоскости YOZ, то  x=0;

ответ: а) A(0; 1; 1).

A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:

x(М) = (x(A) + x(В))/2;  ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);

x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5

y(B) = 2 · 4 - 3 = 5

z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12

ответ: a) B(- 5; 5; 12).

A3  B(6; 3; 6)  C(- 2; 5; 2)

Если АМ медиана, то M - середина ВС.

x(M) = (6 - 2)/2 = 2;  y(M) = (3 + 5)/2 = 4;  z(M) = (6 + 2)/2 = 4

M(2; 4; 4);   A(1; 2; 3)

AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;

AM = √6

ответ: а) √6

А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

↑a · ↑b =  1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0

ответ: б) 0.

А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:

А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),

B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),

C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).

B1 Неполное условие. Должно быть так:

Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.

Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).

Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:

ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см

ответ: 3√5 см

B2 ΔSOA прямоугольный,

R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см

h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см

Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²

С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит  на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.

Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда  КК₁ - высота призмы.

ОА - радиус шара, ОА = 4 см,

КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда

КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,

КА = 6√3/3 = 2√3 см

Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:

ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см

КК₁ = 2ОК = 4 см

ответ: 4 см