Дано: Параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁ ∠α = 60⁰ - угол между диагональю А₁С параллелепипеда и основанием АВСД. Рёбра основания АВ = 6см, ВС = 8см.
Найти: Vпар.
Решение: Угол между диагональю А₁С и основанием АВСД есть угол между диагональю параллелепипеда А₁С и диагональю АС основания.
Диагональ основания
АС = √(АВ² + ВС²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √(100) = 10(см)
Вертикальное ребро АА₁ параллелепипеда равно:
АА₁ = АС· tg 60⁰ = 10·√3 = 10√3(см)
Объём параллелепипеда равен произведению трёх его рёбер:
Vпар = АА₁·АВ·АС = 10√3·6·8 = 480√3 (см²)
т.к AB не параллельна плоскости, значит будем считать, что плоскость провели через сторону AD и А является тупым углом ромба. Сторону ромба обозначим Ы.
из точки А на сторону BC опустим высоту AH. Поскольку острый угол ромба равен 45, AH = BH = Ы / sqrt(2)
ВС || a т.к BC || AD и AD принадлежит а.
Проекции точек B и H на плоскость а обозначим В' и H' соответственно.
т.к ВС || a, то BH || B'H' и вообще BHH'B является параллелограмом.
из прямоугольного треугольника АВВ' , где ВАВ' = 30 получаем B'A = Ы sqrt(3)/2
в прямоугольном треугольнике AB'H' AH' = sqrt(AB' ^2 - B'H' ^2) = sqrt(3/4 - 1/2)Ы = Ы/2
плоскость треугольника AHH' перпендикулярна плоскости ромба и плоскости а, поэтому угол HAH' является углом между искомыми плоскостями
и равен arccos(AH' / AH) = arccos(Ы/2 : Ы/sqrt(2)) = arccos(1/sqrt(2)) = 45
