ответ: два решения (одно для остроугольного треугольника, другое для тупоугольного...)
1) Р = 256 (см)
2) Р = 56V21 (см)
Объяснение: треугольник АВС, основание ВС=2а (чтобы не возиться с дробями); АВ=АС=b
P = 2a+2b = 2(a+b)
а=b*cos(B); по т.синусов: b=2R*sin(B)
S = 2a*h/2 = ah; h = b*sin(B)
S = P*r/2 = (a+b)*r
(a+b)*r = ab*sin(B)
b(1+cos(B))*r = b*b*sin(B)*cos(B)
(1+cos(B))*r = 2R*sin^2(B)*cos(B)
r/(2R) = (1-cos(B))*cos(B)
обозначим х=cos(B)
x^2 - x + (6/25) = 0
(5x)^2 - 5*(5x) + 6 = 0
по т.Виета корни (3) и (2)
5х=3 ---> х = 0.6
---> sin(B) = V(1-0.36) = 0.8 или
5х=2 ---> х = 0.4
---> sin(B) = V(1-0.16) = 0.2V21
b = 2*50*0.8 = 80 или
b = 2*50*0.2V21 = 20V21
a = 80*0.6 = 48 или
а = 20V21*0.4 = 8V21
P = 2*(80+48) = 128*2 = 256 или
Р = 2*(20+8)*V21 = 56V21
Обозначим вершины параллелепипеда АВСDD1FА1В1С1. Формула объема параллелепипеда V=S•H, где Ѕ - площадь грани, лежащей в основании, Н - высота, т.е. расстояние между параллельными (горизонтальными) гранями.
Ѕ(ромба)=d•d1/2=BD•AC/2=6•8/2=24 см² Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей. Из соотношения катетов 3:4, эти треугольники – так называемые египетские, ⇒ гипотенузы этих треугольников -стороны ромба– равны 5 см.
По условию все грани параллелепипеда - равные ромбы, ⇒ боковое ребро составляет с соседними сторонами основания равные углы. ∠А1АК=∠А1АМ. Площади равных граней равны, а их высоты – равные перпендикуляры.⇒ А1К=А1М. Из формулы площади параллелограмма h=S:a=24/5 см. По т.Пифагора АК=√(AA1²-A1К²)=√(5²-(24/5)²)=7/5 см.
Треугольники АКА1 и АМА1 равны по катетам и общей гипотенузе АА1 Проекции равных наклонных А1К и А1М равны. ⇒ НК=НМ. Отсюда прямоугольные ∆ АКН=∆ АМН, их острые углы равны. Поэтому основание высоты А1Н параллелепипеда лежит на биссектрисе угла ВАD, т.е. на диагонали ромба. Прямоугольные ∆ АКН ~∆ АВО по общему острому углу при А. Из подобия следует отношение АН:АВ=АК:АО ⇒АН:5=(7/5):4 ⇒ АН=7/4. т.Пифагора А1Н=(√(AA1²-АН*)=√((400-49):4))=√(9•39/16). АН=0,75√39. V(параллелеп)=24• 0,75√39=18√39 или ≈ 112,41 см³
