Даны уравнения сторон треугольника: 4x-3y+22=0, 5x-2y+2=0 и x+3y+14=0.
найдите: 1) длины сторон треугольника; 2) уравнения прямых, проходящих через
точку пересечения медиан перпендикулярно и параллельно прямой x+3y+14=0.

РЕШЕНИЕ

AA₁ = 6/√2 дм =3√2 дм

BB₁ = √2 дм

< АОА1   и  <BOB1  вертикальные  -равны

АА1  || BB1  || CC1  - параллельные

указанные прямые отсекают на  АВ  и А1В1  пропорциональные отрезки

Это следствие из теоремы Фалеса о параллельных прямых пересекающих  стороны угла.

тогда  треугольники  AOA1 ~ COC1 ~BOB1  подобные

AO/OB=AA1/BB1=3√2 /√2 = 3 : 1

пусть АВ=х

тогда

АО=3/4 х

ОВ= х

АС=СВ= 1/2 х

СО= АО-АС=3/4 х - 1/2 х=3/4 х - 2/4 х=1/4 х

теперь  снова  треугольники  AOA1 ~ COC1   подобные

AA1/СС1= AO/СO=3/4х / 1/4х =   (3/4) / (1/4) = 3 : 1

CC1=1/3 * AA1 = 1/3 *3√2 =√2 дм  (возможна запись  1/3 *6/√2 =  2/√2 дм  )

ответ   √2 дм   или  2/√2 дм 

Кривая задана уравнением 16*x²+25*y²-32*x+50y-359=0. Установить ее тип, найти центр, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Объяснение:

Преобразуем уравнение , выделив полные квадраты

(16*x²-2*4х*4+4²-4²)+(25*y²+2*5у*5+5²-5²)-359=0

(16*x²-2*4х*4+4²)-16+(25*y²+2*5у*5+5²)-25-359=0  ,

16(х²-2х+1)+25(у²+2у+1)²=400 ,

16(x-1)² + 25(y+1)² = 400  .Разделим все выражение на 400,

Это эллипс- кривая 2-го порядка. Центр эллипса в точке: C( 1 ; -1)  . Полуоси a = 5 и b = 4.  

Фокусное расстояние √(25-16)=3 . Координаты фокусов

F₁(1-3;-1), F₂(1+3;-1) или  F₁( -2;-1), F₂( 4;-1)  .

Эксцентриситет равен  ( е = с/а)  е= 3/5.

Уравнения директрис (х=±а/е ) х=±5:(3/5)=±25/3 .