2. до площини альфа опущено перпендикуляр kd і дві похилі ka, kb, так що кут akd = куту dkb. доведіть, що ka = kb.
4. двогранний кут дорівнює 45°.на одній із граней двогранного кута дано точку на відстані 8см від ребра двогранного кута. знайдіть відстань від цієї точки до другої грані.
5. на одній грані двогранного кута позначили точки m і k, віддалені від другої його грані на відстані 14см і 8 см відповідно. відстань від точки м до ребра двогранного кута 42см. знайдіть відстань від точки к до ребра двогранного кута.

1) Угол, который образует боковая грань пирамиды с плоскостью её основания, зависит не от размеров основания, а от положения вершины.
Максимальный угол боковой грани будет равен 90 градусов в случае, если проекция вершины на основание попадает на одну из сторон основания.

ответ: максимальный угол боковой грани равен 90 градусов.

2) Дано:площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды SABC равна 24, а площадь Sо её основания равна 36√3.
Так как Sо = а²√3/4, то отсюда находим сторону а основания:
а = √(4Sо/√3)= √((4*36√3)/√3) = 2*6 = 12.
Периметр Р = 3а = 3*12 = 36.
Площадь Sбок боковой поверхности правильной треугольной пирамиды SABC равна 3*24 = 72.
Sбок = (1/2)PA.
Апофема А = 2Sбок/Р = 2*72/36 = 4.
Находим длину L бокового ребра:
L = √(A² + (a/2)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
Высота Н пирамиды равна:
Н = √(L² - ((2/3)*(a√3/2))²) = √(52 - 48) = √4 = 2.
Так как точка K находится на середине бокового ребра, то высота её hk от основания равна половине Н: hk = 2/2 = 1.
Определим длину отрезка ВК как сторону треугольника SBC:
BK = √(а² + (L/2)² - 2*а*(L/2)*cos(SCB)).
Косинус угла SCB находим так:
cos(SCB) = (a/2)/L = 6/(2√13) = 3/√13 = 3√13/13.
Тогда ВК = √(144 + 13 - 2*12*√13*(3/√13)) = √85.
Для определения угла между скрещивающимися прямыми сделаем параллельный перенос отрезка ВК точкой В в точку А.
Получаем треугольник AK₁S. где AK₁ равно ВК.
Осталось найти длину отрезка K₁S.
Проекция K₁S на плоскость основания равна:
K₂О = √((5√3+2√3)² + 3²)² = √(147 + 9) = √156 = 2√39.
Длина K₁S равна:
K₁S = √(156 + 1) = √157 ≈ 12,52996.

Искомый угол между прямыми  BK и AS находим по теореме косинусов.
cos(BK∧AS) = ((4√3)² + (√85)² - (√157)²)/(2*(4√3)*√85) =  -0,18786729.
Этому косинусу соответствует угол  1,759787 радиан или 100,828348°.

Попытаемся найти точки их пересечения, решив систему:
(x-2)²+(y-3)²=16
(x-2)²+(y-2)²=4

(x-2)²=16-(y-3)²
(x-2)²=4-(y-2)²,

отсюда 16-(y-3)²=4-(y-2)²     упростим
16-у²+6у-9=4-у²+4у-4     ещё упростим
6у-4у=4-4+9-16    ещё упростим
2у=-7     найдём игрек
у=-3,5     и попробуем найти икс
(x-2)²=4-(-3,5-2)²     упростим
(x-2)²=4-30,25    упростим
(x-2)²=-25,75, а квадрат не может быть отрицательным, следовательно, эти две окружности не пересекаются. Центры окружностей - в точках (2;3) и (2;2) соответственно, то есть расстояние между центрами равно единице, а радиусы - 4 и 2, то есть вторая, меньшая, окружность расположена внутри первой.
ответ: малая окружность расположена внутри большой.