1) Сумма углов треугольника равна 180 градусам, значит угол А = 180 градусов - угол В - угол С = 180 - 82 - 40 = 58 градусам.
2) Биссектриса делит угол пополам, значит угол С1АМ = углу МАС = 0, 5 * угол А = 0,5 * 58 = 29 градусов.
Аналогично, угол ВСС1 = углу С1СА = 0,5 * угол С = 0,5 * 40 = 20 градусов.
3) Угол АМС = 180 градусов - угол МАС - угол МСА (см. пункт 1)
Угол АМС = 180 - 29 - 20 = 131 градус
4) Вертикальные углы равны, значит угол С1МА1 = углу АМС = 131 градусу.
5) Сумма смежных углов равна 180 градусам. Угол С1МА = углу А1МС (как вертикальные)
Угол С1МА = углу А1МС = 180 градусов - угол С1МА1 = 180 - 131 = 49 градусов
6) Внешний угол равен сумме двух несмежных с ним углов треугольника. Угол ВС1М = угол С1АМ + угол АМС1 = 29 + 49 = 78 градусов.
Угол ВА1М = угол А1СМ + угол А1МС = 20 + 49 = 69 градусов.
ответ:Угол В = 82 градуса, Угол С1МА1 = 131 градусу, угол ВС1М = 78 градусов и угол ВА1М = 69 градусов.
Первая часть выше решена, по поводу решения второй части (наименьшее значение радиуса)
PK = 16 см
MN = 19 см - это наибольшая хорда
если центр окружности (пусть будет точка O) соединить с точками M и N, а OM = ON = r (радиус окружности)
Тогда по теореме косинусов MN^2 = r^2 + r^2 - 2r^2Cosα, где Cosα - угол между OM и ON.
2r^2(1 - Cosα) = 19^2, наименьший радиус будет в том случае, если (1 - Cosα) - наибольшее (-1 <= Cosα <= 1), т.е. Cosα = -1 (α = 180 - когда MN - диаметр)
Получим r = 19/2 = 9.5 см
