Втреугольник со сторонами 10,17,21 см вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника, а две другие вершины- на двух сторонах треугольника. найти стороны прямоугольника, если известно что его периметр равен 22,5см? ​

Точка О2 - центр вписанной окружности в  тр-ник АВС. Точка О1 - центр заданной окружности. 
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К. 
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и  в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают. 
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.

1) Сумма всех углов в четырехугольнике 360 градусов, если у него 3 по 90, то и четвертый= 90, таким образом это прямоугольник, естественно у него противоположные стороны параллельны.
2) Рисунка здесь никакого не надо. Чтобы найти диагональ по стороне квадрата надо умножить на √2, чтобы найти сторону по диагонали квадрата надо поделить на √2. Итак, диагональ 16, значит сторона 16/√2=8√2, это же опять диагональ следовательно сторона второго: 8√2/√2=8
Успехов в учебе!
Математика- самая красивая, гармоничная, правильная и справедливая модель нашего мира и нас в нем.©.