Обозначим О - центр окружности; АВ - касательная; АС -секущая; СD - внутренний отрезок секущей (рисунок в приложении). По условиям задачи: АВ+АС=30 см AB-CD=2 Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: АВ²=АС*DA Выразим: AC=30-AB CD=AB-2 Пусть АВ=х см, тогда АС=30-х СD=x-2 АС=DA-DC=30-x-x+2=32-2x АВ²=АС*DA=(30-x)*(32-2x) x²=(30-x)*(32-2x) x²=960-32х-60х+2х² 2х²-х²-92х+960=0 х²-92х+960=0 D=b²-4ac=(-92)²-4*1*960=8464-3840=4624 (√4624=68) x₁=(-b+√D)/2a=(-(-92)+68)/2*1=160/2=80 - не соответствует условиям задачи x₂=(-b-√D)/2a=(-(-92)-68)/2*1=24/2=12 АВ=12 см АС=30-АВ=30-12=18 см ответ: касательная равна 12 см, секущая - 18 см.
Проведем биссектрису угла А - АМ. Так как ∠А = 2∠С, то половинки угла А равны углу С.
Обозначим АВ = а, тогда ВС = а + 2, ВМ = b, МС = а + 2 - b.
По свойству биссектрисы: ВМ : МС = АВ : ВС b : (a + 2 - b) = a : 5 5b = a² + 2a - ab (1)
Треугольники СВА и АВМ подобны по двум углам: ∠ВСА = ∠ВАМ, угол В общий. Из подобия треугольников следует: СВ : АВ = ВА : ВМ (a + 2) : a = a : b a² = b(a + 2) a² = ab + 2b ab - a² + 2b = 0 (2)
Из двух уравнений получаем систему: a² + 2a - ab = 5b ab - a² + 2b = 0 складываем
2a + 2b = 5b 2a = 3b b = 2a/3 подставляем в первое
a² + 2a - a·2a/3 = 5·2a/3 умножаем на 3 3a² + 6a - 2a² - 10a = 0 a² - 4a = 0 a(a - 4) = 0 a = 4 или a = 0 - не подходит по смыслу задачи.
АВ = 4 см ВС = 4 + 2 = 6 см
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
