Дан равнобедренный треугольник abc с ab = ac и угол b = 36° длина биссектрисы, проведенной из вершины b равна 10. найдите длину высоты, проведенной из вершины a .
Найдем AD10-6,4=3,6 Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на подобные треугольники. Из подобия ∆ ABC и ∆ ADC следует отношение: АВ:АС=АС:AD ⇒ AC²=AB*AD=10*3,6=36 AC=√36=6 Из подобия ∆ ABC и ∆ ВDC следует отношение: АВ:ВС=ВС:BD ⇒ BC²=AB*BD=64 BC=8 Из подобия ∆ BCD и ∆ ACD следует отношение: ВD:CD=CD:AD CD²=AB*CD=6,4*3,6=23,04 CD=√23,04=4,8 Отсюда следует свойство высоты, которое полезно запомнить: а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. ---- б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. ------- Тогда решение задачи можно записать короче: CD²=AB*CD=6,4*3,6=23,04 CD=√23,04=4,8 см BC²=AB*BD=64 BD=√64=8 см AC²=AB*AD=10*3,6=36 AC=√36=6 см
