В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.
Доказательство:
Надо доказать, что существует точка, равноудаленная от сторон многоугольника.
Пусть О - центр окружности, описанной около правильного многоугольника.
Тогда ОА₁ = ОА₂ = ОА₃ = ... как радиусы описанной окружности, значит треугольники ОА₁А₂, ОА₂А₃ и т.д. равны по трем сторонам (отрезки А₁А₂, А₂А₃ и т.д. равны, как стороны правильного многоугольника),
но тогда равны и высоты этих треугольников, проведенные к сторонам А₁А₂, А₂А₃ и т.д.
Значит, точка О равноудалена от сторон многоугольника, и окружность с центром в точке О и радиусом, равным ОК₁, пройдет через точки К₁, К₂, и т.д., то есть будет касаться сторон многоугольника и значит будет вписанной.
В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Докажем, что эта окружность единственная.
Предположим, что существует еще одна окружность с центром в некоторой точке О₁, вписанная в тот же правильный многоугольник.
Тогда точка О₁ равноудалена от сторон этого многоугольника, значит лежит в точке пересечения биссектрис его углов, значит совпадает с точкой О - точкой пересечения его биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон, т.е. равен ОК₁, значит эти окружности совпадают.
150 = 90 + 60.
Сперва строим прямой угол: проводим произвольный отрезок AB. Устанавливаем раствор циркуля не меньше половины длины отрезка. Проводим две окружности этим радиусом и центрами в т. А и B. Через точки пересечения окружностей C и D проводим прямую, которая пересечет AB в середине - точка О. Угол AOC = 90.
Теперь надо отложить 60 градусов вправо от OC. Для это возьмем циркуль с любым раствором из точки О проводим окружность и отмечаем точку пересеченя с прямой OC. Пусть это точка К. Теперь тем же радиусом проводим окружность с центром в т. К. Она пересечет 1-ю окружность в точке М. Треугольник ОКМ - равносторонний по построению, а значит его угол КОМ 60 градусов.
Итого: угол АOM = АОК + КОМ = 90 + 60 = 150 градусов.
Объяснение:
