На одной стороне угла с вершиной в отмечены точки м и о, на другой — к и р так, что вм = вр, во < вм, вк < bp, a opb = kmb. докажите, что: б) тм = тр, где т — точка пересечения отрезков мк и ор.

Вариант 1, при АВ>BC.
а)  В ∆ АВС отрезок EF - средняя линия, так как соединяет середины
сторон АВ и АС.
ЕF параллельна ВС. Отрезок MD - секущая.
Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. ∠MDF=∠DMC.
По свойству касательных из одной точки СМ=CN и ∆ МСN - равнобедренный и углы при его основании MN равны (свойство): ∠NMC=∠MNC.
∠MNC=∠FND (вертикальные). Отсюда
∠MDF=∠FND. Треугольник DFN- равнобедренный с основанием DN, FN=FD. Что и требовалось доказать.
 
б)  В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
То есть CN = (AC + BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2.
FN=FC-CN = AC/2 - (AC+BC-AB)/2 = AB/2-BC/2.
Но FN = FD (доказано выше) и
ED=EF+FD=EF+FN = BC/2+AB/2-BC/2=AB/2=BE.
Треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED).
Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3.
Треугольник  ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна
Sbed=25√3.

Для второго варианта, при АВ<ВС:
а). EF параллельна ВС, MN - секущая. <NDF=<NMC (соответственные углы). СМ=CN (касательные из одной точки) => треугольник MNC
равнобедренный и <NMC=<MNC (углы при основании). Отсюда <MNC=<NDF и треугольник DFN - равнобедренный с основанием ND.
FN=FD. Что и требовалось доказать.

б). CN = (AC+BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2.
FN=CN-CF = (AC+BC-AB)/2 - AC/2 - = BC/2-АВ/2.
Но FN = FD (доказано выше) и
ED=EF-FD=EF-FN = BC/2-BC/2+АВ/2=AB/2=BE.
То есть треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED).
Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3.
Треугольник  ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна
Sbed=25√3.

1) Концы отрезка, который не пересекает плоскость, отдалены от нее на 3 см и 8 см. Проекция отрезка на плоскость равна 12 см. Найти длину отрезка. 

-----

Обозначим отрезок АВ. Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка, проведенного к ней перпендикулярно. 

АА1 и ВВ1 перпендикулярны плоскости, следовательно, перпендикулярны В1А1. 

АА1║ВВ1, 

АВВ1А1 - прямоугольная трапеция. 

ВВ1=3 см.АА1=8 см,

ВС║В1А1 ⇒ А1С=ВВ1=3 см, АС=8-3=5 см. 

ВС=В1А1=12 см. 

Катеты прямоугольного ∆ АВС относятся как 5:12 - треугольник из Пифагоровых троек, ⇒гипотенуза АВ=13 см. 

                    * * *

2) Из точки, которая находится на расстоянии 6 см от плоскости, проведены две наклонные. Найти расстояние между основаниями наклонных, если угол между каждой наклонной и ее проекцией равен 30°, а угол между проекциями наклонных 120°. 

-------

Наклонные АВ и АС,  расстояние до плоскости АН=6 см,  ∠АВН=∠АСН=30°

ВН=СН=АН:tg30°=6√3

∆АНС равнобедренный, угол ВНС=120° ( дано). 

Проведем высоту НМ к основанию ВС. Высота в равнобедренном треугольнике - биссектриса и медиана. ⇒ ∆ ВНМ=∆ СНМ, ∠ВНМ=СНМ=60°

ВМ=ВН•sin60°=6√3•√3/2=9 

BC=2•BМ=18 см (по т.косинусов ВС также равно 18 см)

                     * * * 

3) Из вершины А прямоугольника АВСD со сторонами 7 см и 14 см к его плоскости проведен перпендикуляр АМ=7 см. Найти расстояние от точки М до прямых DС и DB.

--------

Примем АВ=14 см, АD=7 см. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной отрезка, проведенного перпендикулярно от точки до прямой. По т. о 3-х перпендикулярах МD пп DC, МВ пп ВС.

В прямоугольном ∆ MAD катеты равны, следовательно, он равнобедренный с острыми углами, равными 45°. 

MD=AD:sin45°=7√2.

Из прямоугольного ∆ МАВ расстояние МВ=√(AB²+AM²)=√(196+49)=7√5 см

Расстояние от М до BD отрезок МН, перпендикулярный диагонали ABCD.

По т. о 3-х перпендикулярах МН⊥DB,⇒ его проекция АН⊥DB.

АН=AD•AB:BD

∆ ADB=∆ MAB по двум катетам,⇒ DB=MB=7√5

AH=7•14:7√5=14/√5

MH=√(AM²+AH²)=√(441/5)=21/√5=4,2√5 или ≈ 9,39 см