Ii вариант
решите треугольник abc, если:
1. bc = 4 см, уголb = 30°, угол a = 45°.
2. bc = 6 см, ac = 10 см, угол c = 60°.
3. a = 8 см, b = 10 см, угол a = 300.
4. a = 5 см, b = 6 см, с = 7 см.​

1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ОВ⊥АВ.
Из ΔАОВ по теореме Пифагора
АВ = √(41² - 9²) = √((41 - 9)(41 + 9)) = √(32 · 50) = √1600 = 40 см

2.  Проведем радиусы ОВ и ОС в точки касания.
Тогда ∠АВО = ∠АСО = 90°, ОВ = ОС как радиусы, ОА - общая гипотенуза для треугольников АВО  и АСО, ⇒
ΔАВО = ΔАСО по катету и гипотенузе.
Значит, ∠ВАО = ∠САО = 1/2 ∠ВАС = 1/2 · 60° = 30°.
В прямоугольном треугольнике АОС ОС - катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен половине гипотенузы:
R = OC = 1/2AO = 8 см

3. В прямоугольном треугольнике  АОС
sin∠САО = OC/OA = 6 / (4√3) = 3√3 / 6 = √3/2
Значит ∠САО = 60°.
Так как ∠ВАО = ∠САО (доказано в предыдущей задаче), то
∠ВАС = 120°.

4. АВ⊥ВС как стороны прямоугольника, значит АВ - расстояние от точки А  - центра окружности - до прямой ВС. Это расстояние равно радиусу, значит прямая ВС - касательная к окружности.

5.  Пусть х - коэффициент пропорциональности. Тогда соответствующие дуги окружности равны 2х, 3х и 4х. В сумме они составляют 360°.
2x + 3x + 4x = 360°
9x = 360°
x = 40°
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
∪АВ = 80°, ⇒ ∠С = 40°,
∪ВС = 120°, ⇒ ∠А = 60°,
∪АС = 160°, ⇒ ∠В = 80°.

6. Неточное условие. Должно быть так:
Расстояния от точки окружности до концов диаметра равны 9 см и 12 см. Найдите радиус окружности.
Вписанный угол АСВ опирается на диаметр, значит он прямой.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора
АВ = √(АС² + ВС²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см
R = 1/2AB = 7,5 см

1.Пусть АВС равносторонний треугольник. Тогда

 1) АВ=ВС=АС =6√3/3 =2√3

 2) В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадают и есть точка О - точка пересечения медиан и все углы равны по 60 градусов

 3) Проведём высоту ВК (она же и медиана) Тогда из треугольника АВК

 ВК =АВ*sin60 = 2√3*√3/2 = 3см

 4) Тогда по свойству медиан треугольника ОК =ВК/3 = 3/3 =1см = r

 ответ r =1см

2.1) Получаем прямоугольный треугольник АВО

По Т Пифагора: ВА=корень(АО^2-OB^2) =корень(41^2-9^2) =корень(1600) =40

3. т.к. точка О является точкой пересечения серединных перпендикуляров, то все три перпендикуляра равны. АО=ОВ=ОС=10 см. следовательно, периметр ВОС=ВО+ВС+ОС=32