Из одной точки на листе бумаги проведены 4 произвольных луча, образующих 4 любых угла.
если в каждом угле построить биссектрису и разрезать бумагу по линии этих биссектрис, получатся другие 4 угла
докажите, что из полученных углов попарно всегда можно сложить два угла по 180 градусов

Смотрите на рисунок ( все  обозначения там )

Поскольку  a1,b1,c1,d1 - биссектрисы углов  A,B,C,D

То  углы полученные при  разрезании  по  биссектрисам равны

∠A'= ∠A/2  +∠B/2

∠B'=∠B/2 +∠C/2

∠C'=∠C/2 +∠D/2

∠D'= ∠A/2 +∠D/2

Заметим что :

∠A'+∠C'=∠B'+∠D' = (∠A+∠B+∠C+∠D)/2

Поскольку  сумма  всех углов : A+B+C+D=360°

∠A'+∠C'=∠B'+∠D' = (∠A+∠B+∠C+∠D)/2 = 180°

То  есть попарно  всегда можно сложить два угла по 180°

Что и требовалось доказать