Использовать теорему пифагора.

1. Боковая поверхность усечённого конуса находится по формуле:S=πL(r+R), где L - образующая, а r и R - радиусы оснований.
2. Из условия можно найти, что 120π=10π(r+R), откуда r+R=12.
3. В сечении такой конус представляет из себя равнобедренную трапецию, разделённую пополам (вертикально) высотой конуса, которая по условию равна 8. Одна половина представляет из себя прямоугольную трапецию, в которой высота равна 8, боковая сторона 10, а r и R- основания.
4. Из прямоугольной трапеции по т. Пифагора можно найти разность R-r. Она равна 6. Тогда, зная, что r+R=12 и R-r=6, находим, что r=3, а R=9

Пусть ABCD -  трапеция с основаниями AB=2, CD =18.
Боковая сторона AD=26√3.
Угол DAB= 120 градусов. 
Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов ⇒ угол АDC = 180 - 120 = 60 градусов.
Опустим высоту AE на основание трапеции CD. Получаем прямоугольный треугольник AED, где AD - гипотенуза, AE - катет, противолежащий углу ADE=ADC=60 градусов, DE - катет, прилежащий углу ADE.

AE = AD * sin (ADE)
AE = 26√3 * sin (60°) = 26√3 * √3/2 = 39 (см)

Площадь трапеции S = 1/2 * (a+b) * h, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

S = 1/2 * (AB + CD) * AE = 1/2 * (2 + 18) * 39 = 390 (см²)